Переходные процессы в цепи постоянного тока при последовательном соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора



 

Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R , индуктивностью L и ёмкостью C (рисунок6.9).Исследуем частный,но практически важный случай переходногорежима, возникающего при отключении конденсатора от источника постоянного

напряжения и подключении его

к ветви

с активным

сопротивлением R и  
индуктивностью

L ,т.е.режим разряда конденсатора в

R , L –цепь(в индуктивную  
катушку).                      

На основании 2-го закона Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи

 

после коммутации:

u R + u L + u C =0.

     
         

Учитывая,

что u R = Ri ,

u L

= L

di

и

i = C

du C

,

получим дифференциальное

 

dt

   
           

dt

     

уравнение 2-го порядка


 

137


LC

d 2u C

+ RC

du C

+ u C =0.

(6.50)

 
         
 

dt 2

dt

   

Разделим обе части уравнения (6.50) на произведение LC :

 

d 2u C

+

R du

C

+

1

u

C

= 0

(6.51)

 
           

LC

 

dt 2

L dt

       
                           

и для удобства анализа введем обозначения

 

δ =

R

,

ω0=

1

,

(6.52)

 

2L

LC

 
           

где δ — коэффициент затухания, ω0 — угловая частота незатухающих колебаний. Из (6.51), (6.52) получим уравнение

d 2u

C

  du

2

   
 

+ 2δ

  C

+ ω0 u C =0.

(6.53)

 
         

dt 2

dt

   

 

 

Рисунок 6.9 – Схема замещения цепи при подключении заряженного конденсатора к индуктивной катушке

 

Дифференциальное уравнение (6.53), описывающее переходной процесс в рассматриваемой цепи, является однородным уравнением, поэтому его общее решение существует в форме свободной составляющей напряжения u C = u Cсв , структура которой

 

однозначно определяется корнями характеристического уравнения.

 

Характеристическое уравнение согласно (6.53) имеет вид

 

λ2 + 2δλ + ω02 = 0 . (6.54)

S зависимости от соотношения параметров цепи (величин R , L и C ) корни характеристического уравнения (6.54) могут быть:

 

1) вещественными и различными, если дискриминант больше нуля, т.е. δ > ω0

 

или R > 2ρ , где ρ =    L C ;

2) вещественными и равными, если дискриминант равен нулю, т.е. δ = ω0 или

 

= 2ρ ;

комплексно-сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т.е. δ < ω0 или

 

R <2ρ .

 

Характер переходного процесса в данной цепи будет существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными.


 

138


Апериодический разряд конденсатора

 

Пусть корни характеристического уравнения (6.54) вещественные и различные:

λ =−δ +

δ 2 − ω 2

, λ = −δδ 2

ω2 .

(6.55)  
1     0   2   0    

В этом случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид

   
  u

C

= A e λ1t

+ A e λ2t ,     (6.56)  
      1 2        
где произвольные постоянные

A1

и A2

определяются

из начальных условий  

неизменности тока в катушке и напряжения на зажимах конденсатора в момент коммутации: i L (0 ) = i L (0 + ), u C (0 ) =u C (0+ ), т.е. из начальных условий, полученных на основании 1-го и 2- го законов коммутации.

Из формулы (6.56) получаем выражение для силы тока в цепи:

   

 

i = C

du C

= C

(λ A e λ1t + λ

2

A e λ2t ).

     

(6.57)

 
     

 

         
               

dt

 

1

1         2            

Так как в докоммутационном режиме i(0 ) = i L (0 ) = 0 и u C (0 ) = U0 , где U0

 

первоначальное напряжение на конденсаторе ( 0 < U0

E ),то из(6.56)и(6.57)получим

 

два уравнения для определения постоянных интегрирования A1 и A2 :

   
     

A1+ A2= U0

 

и λ1 A1 + λ2 A2 = 0 .

     

Совместное решение этих уравнений даст

                         
         

A =−

 

U0λ2

 

,

 

A =

U0λ1

.

     

(6.58)

 
           

 

   

 

       
          1        

λ1 λ2

  2  

λ1

λ2

         
                                   

Подставляя (6.58) в (6.56) и (6.57), найдем формулы, определяющие напряжение

 

на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации:

   

u

 

= −

U0  

(λ

e λ1t

 

λ e λ2t ),

 

i =−

   

U0

   

(e λ1t e λ2t ).

(6.59)

 

C

     

L(λ1 λ2)

 
   

λ1 λ2

2      

1

                   
                                       

Напряжение на индуктивности равно:

                         
     

u

L

= L

di  

= −

 

U0

 

(λ e λ1t

λ e λ2t ).

     

(6.60)

 
           

 

         
             

dt

     

λ1 λ2

  1       2            
                                             

Анализ корней (6.55) характеристического уравнения приводит к неравенствам:

 
               

λ1 < 0

    и  

λ2 < 0 .

         

Это означает, что каждая из найденных величин u C ,

i и u L

состоит из 2-х слагаемых,

 

затухающих по экспонентам с коэффициентами затухания λ1 и λ2 . Графики изменения величин u C , i и u L в переходном режиме, построенные согласно выражениям (6.59) и (6.60), приведены на рисунке 6.10.

 

Из рисунка 6.10 видно, что напряжение u C на конденсаторе монотонно уменьшается от U0 до нуля, не меняя знака. Такой разряд конденсатора, при котором

энергия его электрического поля непрерывно убывает и не происходит процесса перезарядки, называется апериодическим разрядом.

 

Ток i при апериодическом разряде (см. рисунок 6.10) возрастает от нуля до некоторого максимума при t = t1 , а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю.

 

Напряжение u L на индуктивности начинает свое изменение со значения u L (0+)=−U0и убывает до нуля( t = t1),а затем,изменяя знак,возрастает до максимума( t = t2 ) и далее асимптотически стремится к нулю.


 

139


o момент времени t1 напряжение на конденсаторе u C проходит точку перегиба, ток i — свой максимум, а напряжение u L на индуктивности равно нулю. Перегиб кривой тока i и максимум u L также имеет место в один и тот же момент времени t2 .

 

Рисунок 6.10 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при апериодическом разряде конденсатора

 

Из рисунка 6.10 следует, что мгновенная мощность p C всегда отрицательна: p C = u C i <0и,следовательно,конденсатор в течение всего переходного процессаотдает свою энергию. Энергия конденсатора непрерывно расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении цепи, но, кроме того, в интервале времени от 0 до t1 , когда p L = u L i > 0 , конденсатор расходует энергию и на создание магнитного поля, т.е. часть энергии, запасенной в его электрическом поле, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. От момента t1 до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до t1 . Когда вся энергия заряженного конденсатора превратится в тепло, процесс в цепи закончится.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 367; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!