Переходные процессы в цепи постоянного тока при последовательном соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора
Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R , индуктивностью L и ёмкостью C (рисунок6.9).Исследуем частный,но практически важный случай переходногорежима, возникающего при отключении конденсатора от источника постоянного
напряжения и | подключении | его | к ветви | с активным | сопротивлением R и | ||||||
индуктивностью | L ,т.е.режим разряда конденсатора в | R , | L –цепь(в индуктивную | ||||||||
катушку). | |||||||||||
На основании 2-го закона Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи | |||||||||||
после коммутации: | u R + u L + u C =0. | ||||||||||
Учитывая, | что u R = Ri , | u L | = L | di | и | i = C | du C | , | получим дифференциальное | ||
dt | |||||||||||
dt |
уравнение 2-го порядка
137
LC | d 2u | C | + RC | du | C | + u C =0. | (6.50) | |
dt 2 | dt |
Разделим обе части уравнения (6.50) на произведение LC :
d 2u | C | + | R du | C | + | 1 | u | C | = 0 | (6.51) | |||
LC | |||||||||||||
dt 2 | L dt | ||||||||||||
и для удобства анализа введем обозначения
δ = | R | , | ω0= | 1 | , | (6.52) | |
2L | LC | ||||||
|
|
где δ — коэффициент затухания, ω0 — угловая частота незатухающих колебаний. Из (6.51), (6.52) получим уравнение
d 2u | C | du | 2 | ||||
+ 2δ | C | + ω0 u C =0. | (6.53) | ||||
dt 2 | dt |
Рисунок 6.9 – Схема замещения цепи при подключении заряженного конденсатора к индуктивной катушке
Дифференциальное уравнение (6.53), описывающее переходной процесс в рассматриваемой цепи, является однородным уравнением, поэтому его общее решение существует в форме свободной составляющей напряжения u C = u Cсв , структура которой
однозначно определяется корнями характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение согласно (6.53) имеет вид
λ2 + 2δλ + ω02 = 0 . | (6.54) |
S зависимости от соотношения параметров цепи (величин R , L и C ) корни характеристического уравнения (6.54) могут быть:
1) вещественными и различными, если дискриминант больше нуля, т.е. δ > ω0
или R > 2ρ , где ρ = L C ;
2) вещественными и равными, если дискриминант равен нулю, т.е. δ = ω0 или
= 2ρ ;
комплексно-сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т.е. δ < ω0 или
|
|
R <2ρ .
Характер переходного процесса в данной цепи будет существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными.
138
Апериодический разряд конденсатора
Пусть корни характеристического уравнения (6.54) вещественные и различные:
λ =−δ + | δ 2 − ω 2 | , | λ = −δ − δ 2 | − ω2 . | (6.55) | ||||
1 | 0 | 2 | 0 | ||||||
В этом случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид | |||||||||
u | C | = A e λ1t | + A e λ2t , | (6.56) | |||||
1 | 2 | ||||||||
где произвольные постоянные | A1 | и | A2 | определяются | из начальных | условий |
неизменности тока в катушке и напряжения на зажимах конденсатора в момент коммутации: i L (0 − ) = i L (0 + ), u C (0− ) =u C (0+ ), т.е. из начальных условий, полученных на основании 1-го и 2- го законов коммутации.
Из формулы (6.56) получаем выражение для силы тока в цепи:
| i = C | du C | = C | (λ A e λ1t + λ | 2 | A e λ2t ). | (6.57) | ||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
dt
| 1 | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
Так как в докоммутационном режиме i(0− ) = i L (0− ) = 0 и u C (0 − ) = U0 , где U0 — | |||||||||||||||||||||||||||||
первоначальное напряжение на конденсаторе ( 0 < U0 | ≤ E ),то из(6.56)и(6.57)получим | ||||||||||||||||||||||||||||
два уравнения для определения постоянных интегрирования A1 и A2 : | |||||||||||||||||||||||||||||
A1+ A2= U0 | и λ1 A1 + λ2 A2 = 0 . | ||||||||||||||||||||||||||||
Совместное решение этих уравнений даст | |||||||||||||||||||||||||||||
A =− | U0λ2 | , | A = | U0λ1 | . | (6.58) | |||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
1 | λ1− λ2 | 2 | λ1 | − λ2 | |||||||||||||||||||||||||
Подставляя (6.58) в (6.56) и (6.57), найдем формулы, определяющие напряжение | |||||||||||||||||||||||||||||
на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации: | |||||||||||||||||||||||||||||
u | = −
| U0 | (λ | e λ1t |
| − λ e λ2t ), | i =− | U0 | (e λ1t − e λ2t ). | (6.59) | |||||||||||||||||||
C | L(λ1− λ2) | ||||||||||||||||||||||||||||
λ1− λ2 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||
Напряжение на индуктивности равно: | |||||||||||||||||||||||||||||
u | L | = L | di | = − | U0 | (λ e λ1t | − λ e λ2t ). | (6.60) | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
dt | λ1− λ2 | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
Анализ корней (6.55) характеристического уравнения приводит к неравенствам: | |||||||||||||||||||||||||||||
λ1 < 0 | и | λ2 < 0 . | |||||||||||||||||||||||||||
Это означает, что каждая из найденных величин u C , | i и u L | состоит из 2-х слагаемых, |
затухающих по экспонентам с коэффициентами затухания λ1 и λ2 . Графики изменения величин u C , i и u L в переходном режиме, построенные согласно выражениям (6.59) и (6.60), приведены на рисунке 6.10.
Из рисунка 6.10 видно, что напряжение u C на конденсаторе монотонно уменьшается от U0 до нуля, не меняя знака. Такой разряд конденсатора, при котором
энергия его электрического поля непрерывно убывает и не происходит процесса перезарядки, называется апериодическим разрядом.
Ток i при апериодическом разряде (см. рисунок 6.10) возрастает от нуля до некоторого максимума при t = t1 , а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю.
Напряжение u L на индуктивности начинает свое изменение со значения u L (0+)=−U0и убывает до нуля( t = t1),а затем,изменяя знак,возрастает до максимума( t = t2 ) и далее асимптотически стремится к нулю.
139
o момент времени t1 напряжение на конденсаторе u C проходит точку перегиба, ток i — свой максимум, а напряжение u L на индуктивности равно нулю. Перегиб кривой тока i и максимум u L также имеет место в один и тот же момент времени t2 .
Рисунок 6.10 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при апериодическом разряде конденсатора
Из рисунка 6.10 следует, что мгновенная мощность p C всегда отрицательна: p C = u C i <0и,следовательно,конденсатор в течение всего переходного процессаотдает свою энергию. Энергия конденсатора непрерывно расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении цепи, но, кроме того, в интервале времени от 0 до t1 , когда p L = u L i > 0 , конденсатор расходует энергию и на создание магнитного поля, т.е. часть энергии, запасенной в его электрическом поле, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. От момента t1 до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до t1 . Когда вся энергия заряженного конденсатора превратится в тепло, процесс в цепи закончится.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 367; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!