Включение конденсатора на постоянное напряжение



 

Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику постоянной ЭДС E = const , т.е. режим заряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.6, а).

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 6.6 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений

конденсаторе (б) при подключении к источнику постоянного напряжения

 

В послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением

RC

du C

+ u C = E .

(6.32)

 
   
 

dt

   

Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободное напряжение u св , будет

RC

du Cсв

+ u Cсв =0.

(6.33)

 
   
 

dt

   

 


133


 

u R (0+)= E .В последующие моменты времени,с увеличением напряжения

Его характеристическое уравнение

RC λ +1=0

имеет единственный корень λ = −1 (RC), поэтому

1

t

 

t

 

u Cсв = Ae λ t = Ae

 

= Ae

 

,

 
RC τ  

где τ = RCпостоянная времени.

       

Напряжение на зажимах конденсатора в установившемся режиме

u Cпр = E .


 

(6.34)

(6.35)

(6.36)


Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.35) и (6.36) следует:

t

+ E .

   
u C = u Cсв + u Cпр = Ae τ (6.37)  

Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся 2-м законом коммутации. До коммутации напряжение на конденсаторе было равно нулю ( u C (0 ) = 0 ), так как конденсатор не был заряжен, следовательно, в первый момент

времени после коммутации напряжение u C (0+ ) будет также равно нулю:

u C (0)= u C (0+)= A + E =0.

Отсюда A = −E , поэтому выражение (6.37) можно представить в виде

 

 

t

 

       
           
 

e

τ

,

τ = RC ,

(6.38)

 
u C = E 1        
                 

т.е. напряжение на ёмкости нарастает до установившегося значения (6.36) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ , которая определяет скорость этого процесса.

Ток в ёмкостном элементе с ёмкостью C , т.е. ток в последовательной R , C

цепи:

i = C

du C

=

E

e

t

   

τ

.

(6.39)

 

dt

   
   

R

   

Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R

пропорционально  

току (6.39):

t

 

   
     

u R = Ri = Ee τ .

(6.40)  

Графики изменения величин u C , i и u R в переходном процессе,

построенные  

согласно формулам (6.38) – (6.40), приведены на рисунке 6.6, б. В первый момент времени после коммутации ток в цепи ограничен только сопротивлением, т.е. i(0+)= E R ,а напряжение на резисторе скачком возрастает до величины ЭДС

источника:

на конденсаторе, ток в цепи по экспоненциальному закону уменьшается до нуля. Примечание –Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком,

поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения подключается цепь, содержащая конденсатор.

Короткое замыкание конденсатора в цепи постоянного тока

Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании


134


R , C –цепи(конденсатора),подключенной к источнику постоянного напряжения,т.е.режим разряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.7, а)

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 6.7 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при коротком замыкании

 

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

RC

du C

+ u C =0.

(6.41)

 

dt

 
       

Так как дифференциальное уравнение (6.41)

однородное, т.е. совпадает с  

уравнением (6.33),то его общее решение содержит только свободную составляющую:

 

 

 

t

 

   
     

u C = u Cсв = Ae τ ,

   

где постоянная времени τ = RC . Поскольку в докоммутационном режиме напряжение

 

на конденсаторе

   

u C (0)= E ,

   

то постоянная интегрирования A = E и выражение для переходного напряжения

   

t

 

   
     

u C = Ee τ , τ = RC .

(6.42)  

Ток при разряде конденсатора и напряжение на резистивном элементе равны:

i =−

E

e

t    

u R =−Ee

t

   

τ

 

,

τ

 

(6.43)

 
   
 

R

             

Графики изменения величин u C ,

i

и u R в переходном процессе,

построенные  

согласно формулам (6.42), (6.43), приведены на рисунке 6.7, б.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 103;