Расчет переходных процессов в разветвленных электрических цепях. Способы составления характеристического уравнения
При анализе переходных процессов в разветвленных электрических цепях возникает необходимость в составлении дифференциальных уравнений состояния цепи не только по 2 -му закону Кирхгофа, как это делалось в рассмотренных выше неразветвленных цепях, но и по 1-му закону Кирхгофа или же в использовании общих методов расчета цепей, например, метода контурных токов или метода узловых потенциалов.
Общий алгоритм классического метода анализа переходных процессов в разветвленных и неразветвленных цепях был сформулирован в разделе 6.6, поэтому здесь рассмотрим его практическую реализацию на примере цепи с источником постоянного напряжения (рисунок 6.12).
Рисунок 6.12 – Схема разветвленной цепи при переходном процессе
В соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа для рассматриваемой цепи составим систему уравнений:
i1− i2− i3=0;
| i1R1+ i2 R2= E ; | (6.75) |
− i2 R2+ i3 R3+ L3 di dt3+ C13∫i3dt =0.
Исключив из этой системы уравнений токи i1 и i2 , получим уравнение для тока i3 :
| L C | ( R + R ) | d 2i | + C | ( R R + R R + R R ) | di | +( R + R )i =0. | ||
| 3 | 3 | (6.76) | ||||||
| dt 2 | ||||||||
| 3 3 | 12 | 3 | 1 22 31 3 dt | 12 3 | ||||
Дифференциальное уравнение (6.76) является однородным уравнением, поэтому его общее решение существует в форме свободной составляющей тока, т.е. i3 = i3св .
Структура функции i3св определяется корнями характеристического уравнения, которое
|
|
|
| в данном случае имеет вид | + C (R R + R R + R R )λ +(R + R )=0. | |||||||||||||
| L C | ( R + R )λ2 | (6.77) | ||||||||||||
| 3 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 3 | 1 | 2 | ||
Дальнейший ход решения задачи принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренных (в разделах 6.7 – 6.9) примеров анализа переходных процессов в одноконтурных цепях. Необходимо рассчитать корни характеристического уравнения (6.77), зная которые на основании таблицы 6.1 построить для тока i3
143
аналитическое выражение вида (6.11) и доопределить в нем произвольные постоянные в соответствии с заданными начальными условиями . Далее, в зависимости от условия задачи, необходимо рассчитать остальные токи или напряжения в цепи при переходном процессе. В частности, для схемы цепи, изображенной на рисунке 6.12, токи i1 и i2
| можно выразить через уже известный ток i3 | следующим образом: | |||||||
| i = | E + i3 R2 | , | i | 2 | = | E − i3 R1 | . | |
| 1 | R1+ R2 | R1+ R2 | ||||||
Как следует из всех вышерассмотренных примеров анализа переходных процессов классическим методом, наиболее важным его моментом является процедура составления характеристического уравнения.
|
|
|
Существует три основных способа составления характеристического уравнения:
к непосредственно на основе однородного дифференциального уравнения вида (6.7);
к на основе выражения главного определителя системы дифференциальных уравнений;
к путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном (синусоидальном) токе.
Согласно первому способу характеристическое уравнение было получено в разделах 6.7 – 6.9 и в данном разделе. Рассмотрим два альтернативных способа составления характеристических уравнений.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!