Основные свойства преобразования Лапласа и изображение простейших функций
Основные свойства преобразования Лапласа представлены в таблице 6.3.
Таблица 6.3 – Основные свойства преобразований Лапласа
| Название свойства | Математическое выражение | ||||||||||||||||
| n | n | ||||||||||||||||
| Линейность преобразования | ∑a k f k (t )G∑a k F k ( p), a k = const | ||||||||||||||||
| k =1 | k =1 | ||||||||||||||||
| Дифференцирование оригинала | ′ | (p)− f (0+) | |||||||||||||||
| f (t )G pF | |||||||||||||||||
| t | F ( p) | ||||||||||||||||
| Интегрирование оригинала | ∫ f (τ )d τ | G | |||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||
| 0 | |||||||||||||||||
| Дифференцирование изображения | ′ | ||||||||||||||||
| F (p)G− tf (t ) | |||||||||||||||||
| + ∞ | f (t ) | ||||||||||||||||
| Интегрирование изображения | ∫F ( p)dp G | ||||||||||||||||
| t |
| ||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||
| f (at )G | 1 | F |
| p | |||||||||||||
| Теорема подобия |
|
| |||||||||||||||
| a | |||||||||||||||||
| a | |||||||||||||||||
| Теорема запаздывания | f (t −τ )Ge− p τ F ( p) | ||||||||||||||||
| Теорема смещения | f (t )e−α t G F ( p + α ) | ||||||||||||||||
| Теорема свертки | F1(p)F2(p)G∫t | f1(τ ) f 2(t −τ )d τ =∫t | f1(t −τ ) f 2(τ )d τ | ||||||||||||||
| 0 | 0 | ||||||||||||||||
В таблице 6.4 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 6.4 – Лапласовы изображения простейших функций
| Функция-оригинал | Функция-изображение |
| A δ (t ) | A |
153
Продолжение таблицы 6.4
| Функция-оригинал | Функция-изображение | |||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||
| A | A |
| ||||||||||||||||||||||
| p
| ||||||||||||||||||||||||
| At | A |
| ||||||||||||||||||||||
| p2 | ||||||||||||||||||||||||
| At n | An! | |||||||||||||||||||||||
| p n+1 | ||||||||||||||||||||||||
| Ae−α t | A | |||||||||||||||||||||||
| p + α | ||||||||||||||||||||||||
| Ate−α t | A | |||||||||||||||||||||||
| 2
| ||||||||||||||||||||||||
| ( p + α ) | ||||||||||||||||||||||||
| At n e−α t | An! | |||||||||||||||||||||||
| n+1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( p + α ) | ||||||||||||||||||||||||
| A sin ω t | A ω | |||||||||||||||||||||||
| p2 | + ω 2 | |||||||||||||||||||||||
| Acos ω t | Ap | |||||||||||||||||||||||
| p2 | + ω2 | |||||||||||||||||||||||
| A sin(ω t +ψ ) | A(p sin ψ + ω cos ψ ) | |||||||||||||||||||||||
| p2
| + ω2 | |||||||||||||||||||||||
| Acos(ω t +ψ ) | A(p cos ψ − ω sin ψ ) | |||||||||||||||||||||||
| p2 | + ω2 | |||||||||||||||||||||||
| Ae−α t sin ω t | A ω | |||||||||||||||||||||||
| 2 | ω | 2 | ||||||||||||||||||||||
| ( p + α )+ | ||||||||||||||||||||||||
| Ae−α t cos ω t | A( p + α ) | |||||||||||||||||||||||
| 2 | ω | 2 | ||||||||||||||||||||||
| ( p + α )+ | ||||||||||||||||||||||||
Более подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в специальных справочниках.
Операторное сопротивление и операторная проводимость. Операторные схемы замещения пассивных элементов цепи
При анализе переходных процессов операторным методом токам, напряжениям и ЭДС, действующим в цепи, т.е. функциям i(t ), u(t ) и e(t ), сопоставляются их изображения I ( p), U ( p) и E(p), определяемые интегральными преобразованиями
| Лапласа (6.107): | ||
| I ( p)=+∫∞i(t )e− pt dt , | U ( p)=+∫∞u(t )e− pt dt , | E( p)=+∫∞e(t )e− pt dt |
| 0 | 0 | 0 |
154
или
i(t )G I ( p), u(t )GU (p), e(t )G E(p).
Представление функций i(t ), u(t ) и e(t ) их Лапласовыми образами I (p), U (p) и E( p)приводит к необходимости сопоставления указанных образов по величине для
одного и того же элемента цепи или ее части, рассматриваемой в целом как пассивный двухполюсник. Это сопоставление также проводят с помощью преобразований Лапласа.
Операторное сопротивление и операторная проводимость
Отношение изображения напряжения на зажимах двухполюсника к изображению
| тока в нем называется операторным сопротивлением: | ||||||
| Z ( p)= | U ( p) | . | (6.109) | |||
| I ( p) | ||||||
| Величина, обратная сопротивлению, т.е. функция | ||||||
| Y ( p)= | I (p ) | (6.110) | ||||
| U ( p) | ||||||
| называется операторной проводимостью. | ||||||
| проводимость Y (p), | ||||||
| Операторное сопротивление Z (p) | и операторная | |||||
определяемые формулами (6.109) и (6.110), позволяют сопоставить изображения токов и напряжений на зажимах двухполюсника с произвольной структурой. Наиболее просто указанное сопоставление может быть проведено для идеализированных пассивных элементов схем замещения: резистивного, индуктивного и ёмкостного.
6.14.2 Закон Ома и операторная схема замещения резистивного элемента Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 6.14, а)
| связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида | |
| u(t )= Ri(t ), i(t )= gu(t ), | (6.111) |
где g = 1 
R —проводимость.
| а) | б) | ||
| Рисунок 6.14 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения резистивного элемента | |||
| На основании свойства линейности преобразования Лапласа формулы (6.111) | |||
| можно представить в операторной форме: | I (p)= gU (p) | ||
| U ( p)= RI (p), | |||
| или | |||
| U ( p)= Z R (p)I (p), | I (p)= Y R (p)U (p), | (6.112) | |
где коэффициенты
155
| Z R (p)= R , Y R (p)= g | (6.113) |
представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость резистивного элемента.Соотношения(6.112)называются операторными законами Ома для резистивного элемента цепи.Этим соотношениямсоответствует операторная схема замещения резистивного элемента, изображенная на рисунке 6.14, б.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!