Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме
Используя операторное представление тока, напряжения и ЭДС при переходном процессе, т.е. функции I ( p), U (p) и E(p), а также операторное сопротивление Z (p) и
проводимость Y ( p), можно получить выражения для законов Ома и Кирхгофа в
операторной форме аналогичные их символическим представлениям (3.58), (3.70) и (3.72) для цепи переменного синусоидального тока.
Закон Ома в операторной форме
Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы R , L и C , при ненулевых начальных условиях i L (0) ≠ 0 и u C (0) ≠ 0 , на который воздействует ЭДС
e(t )известной формы(рисунок6.17,а).
а) б)
Рисунок 6.17 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения последовательного контура
На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений
6) рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:
)+ u L (t )+ u C (t )= e(t )u R(t
или
| Ri(t )+ L | di(t ) | + u C | (0 )+ | 1 | t i(t )dt = e(t ), | (6.122) | |
| dt | C ∫ | ||||||
| 0 | |||||||
| где u C (0 ) — начальное напряжение на конденсаторе. | |||||||
| Рассматривая заданную ЭДС e(t ) | и искомый ток i(t ) | в качестве оригиналов, | |||||
положим, что им соответствуют изображения I (p) и E(p), т.е. e(t )G E( p) и i(t )G I (p).
На основании свойства линейности преобразования Лапласа и результатов, представленных в разделах 6.14.2 – 6.14.4, уравнение (6.122) можно записать в операторной форме:
|
|
|
158
|
|
| (6.127) |
| RI ( p)− Li L (0)+ pLI ( p)+ | u C (0) | + | 1 | I ( p) | = E( p), | |||||||||||||||
| p |
| |||||||||||||||||||
| pC | ||||||||||||||||||||
| откуда после несложных преобразований получим уравнение | (0 ) | |||||||||||||||||||
| 1 | u | C | ||||||||||||||||||
| R + pL + | I ( p)= E( p)+ Li | L | (0 )− | (6.123) | ||||||||||||||||
|
| p | |||||||||||||||||||
| pC | ||||||||||||||||||||
| или | Z (p)I (p)= E * (p), | |||||||||||||||||||
| (6.124) | ||||||||||||||||||||
| где коэффициент | 1 | |||||||||||||||||||
| Z ( p)= R + pL + |
| (6.125) | ||||||||||||||||||
|
| pC | |||||||||||||||||||
| называется операторным сопротивлением контура, а функция
| ||||||||||||||||||||
| E * ( p)= E( p)+ Li L (0)− | u C (0) |
| (6.126) | |||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||
| p | ||||||||||||||||||||
— приведенной операторной ЭДС.
Приведенная операторная ЭДС E * (p) учитывает ненулевые начальные условия в
цепи: токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях в момент коммутации.При
нулевых начальных условиях, когда i L (0)=0 и u C (0)=0, E * ( p)= E(p), т. е.
приведенная ЭДС совпадает с изображением ЭДС источника, действующего в цепи.
Уравнению (6.123), полученному для схемы цепи, изображенной на
рисунке 6.17, а, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рисунке 6.17, б.
Эту схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений.
Эквивалентная операторная схема может быть получена из исходной схемы цепи, если индуктивность L и ёмкость C в ней заменить операторными сопротивлениями Z L ( p)= pL и Z C ( p)=1 
( pC ), ток i(t ) и ЭДС e(t ) — их изображениями I ( p) и E(p), а
|
|
|
ненулевые начальные условия, соответствующие моменту коммутации t = 0 , учесть путем введения в схему дополнительных источников ЭДС Li L (0) и u C (0 ) 
p .
Источники Li L (0 ) и u C (0) 
p в выражении(6.126)приведенной ЭДС E * (p)
называются внутренними (или расчетными) источниками, так как обусловлены запасом энергии в магнитном поле катушки (источник Li L (0)) или в электрическом поле
конденсатора (источник u C (0 ) 
p ).ЭДС e(t ),а также ее изображение E( p),называются
внешними ЭДС.
Из операторного уравнения (6.124) следует, что
I ( p)= E *(( p)), I (p)= E * (p)Y (p).
Z p
Соотношения (6.127) являются законами Ома в операторной форме. Функция Y ( p),т.е. операторная проводимость,определяется равенством
| Y ( p)= | 1 | = | 1 | . | (6.128) | |||||
| Z ( p) | R + pL +1( pC ) | |||||||||
| сопротивление Z (p), | ||||||||||
| Примечание –Отметим,что | при | p = j ω | операторное | |||||||
определяемое формулой (6.125), переходит в комплексное сопротивление ветви
159
Z ( j ω)= R + j ω L − j ω1C .
При этом между операторной формой закона Ома (6.127) в переходном режиме и его символическим (комплексным) представлением (3.33) в стационарном режиме синусоидального тока сохраняется формальная аналогия.
|
|
|
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 260; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!