Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме



 

Используя операторное представление тока, напряжения и ЭДС при переходном процессе, т.е. функции I ( p), U (p) и E(p), а также операторное сопротивление Z (p) и

 

проводимость Y ( p), можно получить выражения для законов Ома и Кирхгофа в

 

операторной форме аналогичные их символическим представлениям (3.58), (3.70) и (3.72) для цепи переменного синусоидального тока.

 

Закон Ома в операторной форме

 

Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы R , L и C , при ненулевых начальных условиях i L (0) ≠ 0 и u C (0) ≠ 0 , на который воздействует ЭДС

 

e(t )известной формы(рисунок6.17,а).

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 6.17 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения последовательного контура

 

На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений

 

6) рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:

)+ u L (t )+ u C (t )= e(t )u R(t

или

 

Ri(t )+ L

di(t )

+ u C

(0 )+

1

t i(t )dt = e(t ),

(6.122)

 
     
 

dt

 

C

   
     

0

   

где u C (0 ) — начальное напряжение на конденсаторе.

   

Рассматривая заданную ЭДС e(t )

и искомый ток i(t )

в качестве оригиналов,  

положим, что им соответствуют изображения I (p) и E(p), т.е. e(t )G E( p) и i(t )G I (p).

 

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и результатов, представленных в разделах 6.14.2 – 6.14.4, уравнение (6.122) можно записать в операторной форме:


 

158


 

(6.127)

RI ( p)− Li L (0)+ pLI ( p)+

u C (0)

 

+

   

1

I ( p)

= E( p),

   

p

   

 

   
         

pC

           

откуда после несложных преобразований получим уравнение

 

(0 )

   
 

1

              u

C

   

R + pL +

 

I ( p)= E( p)+ Li

L

(0 )−

     

(6.123)

 
           
   

 

             

p

   
 

pC

                   
или

Z (p)I (p)= E * (p),

                   
                  (6.124)  
где коэффициент          

1

                     
 

Z ( p)= R + pL +

 

                 

(6.125)

 
 

 

pC

                 
                               

называется операторным сопротивлением контура, а функция

       

E * ( p)= E( p)+ Li L (0)−

u C (0)

 

       

(6.126)

 

 

         
                   

p

           

приведенной операторной ЭДС.

Приведенная операторная ЭДС E * (p) учитывает ненулевые начальные условия в

цепи: токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях в момент коммутации.При

 

нулевых начальных условиях, когда      i L (0)=0 и u C (0)=0, E * ( p)= E(p), т. е.

 

приведенная ЭДС совпадает с изображением ЭДС источника, действующего в цепи.

Уравнению (6.123), полученному для схемы цепи, изображенной на

рисунке 6.17, а, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рисунке 6.17, б.

 

Эту схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений.

Эквивалентная операторная схема может быть получена из исходной схемы цепи, если индуктивность L и ёмкость C в ней заменить операторными сопротивлениями Z L ( p)= pL и Z C ( p)=1 ( pC ), ток i(t ) и ЭДС e(t ) — их изображениями I ( p) и E(p), а

 

ненулевые начальные условия, соответствующие моменту коммутации t = 0 , учесть путем введения в схему дополнительных источников ЭДС Li L (0) и u C (0 ) p .

Источники Li L (0 ) и u C (0) p в выражении(6.126)приведенной ЭДС E * (p)

 

называются внутренними (или расчетными) источниками, так как обусловлены запасом энергии в магнитном поле катушки (источник Li L (0)) или в электрическом поле

конденсатора (источник u C (0 ) p ).ЭДС e(t ),а также ее изображение E( p),называются

 

внешними ЭДС.

Из операторного уравнения (6.124) следует, что

I ( p)= E *(( p)), I (p)= E * (p)Y (p).

Z p

 

Соотношения (6.127) являются законами Ома в операторной форме. Функция Y ( p),т.е. операторная проводимость,определяется равенством

 

Y ( p)=

  1  

=

1    

.

(6.128)

 

Z ( p)

R + pL +1( pC )

 
     

сопротивление Z (p),

 

Примечание –Отметим,что

при

  p = j ω

операторное

 

определяемое формулой (6.125), переходит в комплексное сопротивление ветви


 

159


Z ( j ω)= R + j ω L j ω1C .

 

При этом между операторной формой закона Ома (6.127) в переходном режиме и его символическим (комплексным) представлением (3.33) в стационарном режиме синусоидального тока сохраняется формальная аналогия.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 35;