Единичная функция воздействия



Единичная функция воздействия 1(t ),называемая также функций Хевисайда (рисунок 6.19, а), имеет следующие значения:

1(t ) = 0 при t <0; (6.141)
1 при t >0  

и обычно не определена при t = 0 .

 

а)     б)   в)  

Рисунок 6.19 – Единичная функция воздействия в стандартной форме (а),

 

с запаздывающим (б) и опережающим (в) аргументом

 

Единичная функция может быть с запаздыванием 1(tτ ) (рисунок 6.19, б) или с

опережением 1(t +τ )(рисунок6.19,в):

       
1(tτ ) = 0 при t < τ ; 1(t +τ ) = 0 при t <−τ ; (6.142)
1 при t > τ , 1 при t >−τ .  

а теории цепей единичная функция, например, соответствует включению постоянного напряжения на вход устройства при замыкании ключа. Если к цепи в


 

166


момент времени t = t0 подключается напряжение u(t ), это соответствует воздействию вида f (t ) = u(t )1(tt0 ), т.е. единичная функция обладает важным формирующим

свойством:при умножении непрерывной функции на единичную получается разрывнаяфункция (рисунок 6.20).

 

Рисунок 6.20 – Разрывная функция                     Рисунок 6.21 – Прямоугольный импульс

 

Прямоугольный импульс (рисунок6.21)с помощью единичной функции можнопредставить разностью

 

а(t)= U m [1(t t1)−1(t t2)],

где U m — амплитуда импульса.

При умножении единичной функции

на постоянное число получается

ступенчатая функции, которую называют функцией включения:

 
A ⋅1(t )=0 при t <0;  
A при t >0.  

Импульсная функция воздействия

Импульсная функция воздействия δ (t ),называемая также дельта-функцией или

 

функцией Дирака,относится к классу особых функций и представляет собой удобнуюматематическую модель таких быстро протекающих процессов как включение и выключение электрического напряжения, короткое замыкание и обрыв в электрической цепи, воздействие на электрическую цепь кратковременных импульсов. Результат таких воздействий часто не зависит от формы импульса, а определяется интегральным значением, т.е. площадью импульса.

 

Наиболее просто к понятию дельта-функции δ (t ) можно прийти на основе выражения для прямоугольного импульса (рисунок 6.22).

На рисунке 6.22 прямоугольный импульс, определяемый функцией δ (t , t ),

 

выбран так, чтобы его высота A и длительность t находились в следующих числовых соотношениях:

 

A =

1

, S = A t = 1,

 

t

 
     

где S — площадь импульса. При таких соотношениях с уменьшением длительности импульса t его высота A увеличивается, а площадь S остается неизменной и равной единице: S = 1 = const .


 

 

167


 

 

Рисунок 6.22 – График функции, определяющей прямоугольный импульс

 

Функцию δ (t , t ) можно представить аналитическим выражением

δ (t , t )=0

при

t <0 и t > t;

(6.143)  
A   при

0 < t < t

   

или с помощью единичных функций по формуле

   

δ (t , t )=

 

1(t )−1(tt )

.

(6.144)

 

 

 
     

t

   
             

 


Предельный случай прямоугольного импульса (6.143)

длительность стремится к нулю (

t →0),а

высота

 
бесконечности ( A → ∞ ), называется

импульсной

функцией

 
дельта-функцией Дирака:  

1(t )−1(tt)

   

δ (t )= lim δ (t ,

t )= lim

.

 

 

 
t→0

t→0

t

 
           

 

или (6.144), когда его импульса стремится к воздействия δ (t )или

 

 

(6.145)

 


Для дельта-функции справедливы соотношения:

+ ∞  
δ (t )=0( t ≠0), δ (0)=∞,∫δ (t )dt =1. (6.146)

−∞

 

При смещении дельта-функции вправо по оси абсцисс на время τ получим

+ ∞  
δ (t τ )=0( t τ ),∫δ (t τ )d τ =1. (6.147)

−∞

 

Важным свойством дельта-функции является возможность выделять (отфильтровывать) с ее помощью значения заданной функции f (t ) в произвольный момент времени t = τ :

 

+ f (t )δ (t τ )d τ = f (τ ), + f (t τ )δ (τ )d τ = f (τ ) (6.148)
−∞ −∞  

 

8) частности, в нулевой момент времени, т.е. при τ = 0

+ f (t )δ (t )dt = f (0).

 

−∞

 

 

168


Примечание –Между импульсной и единичной функциями существуетаналитическая связь , которую можно установить на основании формулы (6.145). Указанный в этой формуле предельный переход соответствует производной, следовательно,

 

δ (t )=

d1(t )

(6.149)

 

dt

 

 
= 1 (t ),  

т.е. дельта-функция равна первой производной от единичной функции. Из (6.149) следует и обратное соотношение

1(t ) = ∫t δ (τ )d τ . (6.150)
−∞    

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 34;