Единичная функция воздействия
Единичная функция воздействия 1(t ),называемая также функций Хевисайда (рисунок 6.19, а), имеет следующие значения:
| 1(t ) = 0 | при | t <0; | (6.141) |
| 1 | при | t >0 |
и обычно не определена при t = 0 .
| а) | б) | в) | ||||
| Рисунок 6.19 – Единичная функция воздействия в стандартной форме (а), | ||||||
| с запаздывающим (б) и опережающим (в) аргументом | ||||||
| Единичная функция может быть с запаздыванием 1(t −τ ) (рисунок 6.19, б) или с | ||||||
| опережением 1(t +τ )(рисунок6.19,в): | ||||||
| 1(t −τ ) = 0 | при | t < τ ; | 1(t +τ ) = 0 | при | t <−τ ; | (6.142) |
| 1 | при | t > τ , | 1 | при | t >−τ . | |
а теории цепей единичная функция, например, соответствует включению постоянного напряжения на вход устройства при замыкании ключа. Если к цепи в
166
момент времени t = t0 подключается напряжение u(t ), это соответствует воздействию вида f (t ) = u(t )1(t − t0 ), т.е. единичная функция обладает важным формирующим
свойством:при умножении непрерывной функции на единичную получается разрывнаяфункция (рисунок 6.20).
Рисунок 6.20 – Разрывная функция Рисунок 6.21 – Прямоугольный импульс
Прямоугольный импульс (рисунок6.21)с помощью единичной функции можнопредставить разностью
а(t)= U m [1(t − t1)−1(t − t2)],
где U m — амплитуда импульса.
| При умножении единичной функции | на постоянное число | получается | |
| ступенчатая функции, которую называют функцией включения: | |||
| A ⋅1(t )=0 | при | t <0; | |
| A | при | t >0. | |
Импульсная функция воздействия
Импульсная функция воздействия δ (t ),называемая также дельта-функцией или
функцией Дирака,относится к классу особых функций и представляет собой удобнуюматематическую модель таких быстро протекающих процессов как включение и выключение электрического напряжения, короткое замыкание и обрыв в электрической цепи, воздействие на электрическую цепь кратковременных импульсов. Результат таких воздействий часто не зависит от формы импульса, а определяется интегральным значением, т.е. площадью импульса.
Наиболее просто к понятию дельта-функции δ (t ) можно прийти на основе выражения для прямоугольного импульса (рисунок 6.22).
На рисунке 6.22 прямоугольный импульс, определяемый функцией δ (t , t ),
выбран так, чтобы его высота A и длительность t находились в следующих числовых соотношениях:
| A = | 1 | , S = A t = 1, | |
| t | |||
где S — площадь импульса. При таких соотношениях с уменьшением длительности импульса t его высота A увеличивается, а площадь S остается неизменной и равной единице: S = 1 = const .
167
Рисунок 6.22 – График функции, определяющей прямоугольный импульс
Функцию δ (t , t ) можно представить аналитическим выражением
| δ (t , t )=0 | при | t <0 и t > t; | (6.143) | |||
| A | при | 0 < t < t | ||||
| или с помощью единичных функций по формуле | ||||||
| δ (t , t )= |
| 1(t )−1(t − t ) | . | (6.144) | ||
|
| ||||||
| t | ||||||
Предельный случай прямоугольного импульса (6.143)
| длительность стремится к нулю ( | t →0),а | высота | |||
| бесконечности ( A → ∞ ), называется | импульсной | функцией | |||
| дельта-функцией Дирака: | 1(t )−1(t − t) | ||||
| δ (t )= lim δ (t , | t )= lim | . | |||
|
| |||||
| t→0 | t→0 | t | |||
или (6.144), когда его импульса стремится к воздействия δ (t )или
(6.145)
Для дельта-функции справедливы соотношения:
| + ∞ | |
| δ (t )=0( t ≠0), δ (0)=∞,∫δ (t )dt =1. | (6.146) |
−∞
При смещении дельта-функции вправо по оси абсцисс на время τ получим
| + ∞ | |
| δ (t −τ )=0( t ≠ τ ),∫δ (t −τ )d τ =1. | (6.147) |
−∞
Важным свойством дельта-функции является возможность выделять (отфильтровывать) с ее помощью значения заданной функции f (t ) в произвольный момент времени t = τ :
| +∫∞ f (t )δ (t −τ )d τ = f (τ ), | +∫∞ f (t −τ )δ (τ )d τ = f (τ ) | (6.148) |
| −∞ | −∞ |
8) частности, в нулевой момент времени, т.е. при τ = 0
+∫∞ f (t )δ (t )dt = f (0).
−∞
168
Примечание –Между импульсной и единичной функциями существуетаналитическая связь , которую можно установить на основании формулы (6.145). Указанный в этой формуле предельный переход соответствует производной, следовательно,
| δ (t )= | d1(t ) | ′ | (6.149) | ||
| dt |
| ||||
| = 1 (t ), | |||||
т.е. дельта-функция равна первой производной от единичной функции. Из (6.149) следует и обратное соотношение
| 1(t ) = ∫t | δ (τ )d τ . | (6.150) |
| −∞ |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 208; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!