Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула интеграла наложения
При выводе формулы интеграла Дюамеля временная характеристика цепи была представлена ее переходной характеристикой. Рассмотрим теперь применение принципа наложения с использованием импульсной характеристики цепи.
Пусть требуется определить ток i(t ) в линейном пассивном двухполюснике, импульсная характеристика g(t ) которого известна, при включении двухполюсника на
174
|
|
| g(t −τ ) |
напряжение u(t ), т.е. внешнее воздействие f (t ) на цепь представлено напряжением, а реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока: f (t) = u(t ), x(t ) = i(t ). Кривая напряжения u(t ) изображена на рисунке 6.26.
Рисунок 6.26– Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление совокупностью прямоугольных импульсов
Для получения формулы интеграла наложения заданное непрерывно изменяющееся напряжении u(t ) представим последовательностью узких прямоугольных импульсов высотой u(τ ) и длительностью d τ (рисунок 6.26). Через τ
вновь обозначено текущее время, изменяющееся в пределах 0 ≤ τ ≤ t , а буквой t обозначим время, прошедшее от начала отсчета до момента наблюдения.
Импульсная характеристика цепи g(t) — это реакция цепи на дельта-функцию
δ (t )в момент времени t =0.При смещении дельта-функции относительно нуля вовремени смещена и реакция, т.е. откликом на δ (t −τ ) будет g(t −τ ). Тогда каждый
|
|
|
отдельный элементарный импульс напряжения с площадью u(τ )δ (t −τ )d τ вызовет ответную реакцию цепи в виде составляющей тока:
di(t )= u(τ )g(t −τ )d τ ,
где — значение импульсной характеристики в момент наблюдения t при
воздействии импульса на цепь в момент τ .
На основании принципа наложения, суммируя бесконечно малые составляющие di(t ),вызванные последовательностью бесконечно малых по площади прямоугольныхимпульсов напряжения, к моменту наблюдения t , получим
i(t )=∫t u(τ ) g (t −τ )d τ . (6.164)
0
Интеграл в равенстве (6.164) есть свертка функций u(t ) и g(t ), которая осуществляет суммирование (наложение) реакций тока в цепи u(τ )g(t −τ )d τ от воздействия импульсов напряжения u(τ )δ (t −τ )d τ .
Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.164) можно записать так:
175
i(t )=∫t u(t −τ )g (τ )d τ . (6.165)
0
Уравнения (6.164), (6.165) называют формулами интегралов наложения или просто интегралами наложения. Эти интегралы аналогичны интегралам Дюамеля. Отличие заключается лишь в использовании импульсной характеристики g(t ) взамен
|
|
|
переходной характеристики h(t ). Поэтому если в (6.164) или (6.165) подставить взамен
импульсной характеристики переходную, используя найденную в разделе 6.20.2 связь между ними, то получим интеграл Дюамеля.
Действительно, согласно (6.155) g(τ ) = h′(τ )+ h(0)δ (τ ), что после подстановки в уравнение (6.165) даст
i(t )=∫t u(t −τ ) g (τ )d τ =∫t u(t −τ )h ′(τ )d τ + h(0)∫t u(t −τ )δ (τ )d τ .
0 0 0
Второй интеграл в полученном равенстве на основании фильтрующего свойства (6.148) импульсной функции равен u(t )h(0).
В результате имеем
i(t )= u(t )h (0)+∫t u(t −τ )h′(τ )d τ ,
0
т.е. четвертую форму записи интеграла Дюамеля.
Последовательность расчета переходных процессов в цепи методом интеграла Дюамеля
При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях методом интеграла Дюамеля необходимо придерживаться следующей последовательности действий (на примере1-й формы интеграла):
4) определить для исследуемой цепи ее переходную характеристику h(t ) как реакцию цепи на единичную функцию воздействия 1(t ) при нулевых начальных условиях;
|
|
|
5) записать выражения h(t −τ ) путем формальной замены t на (t −τ );
6) определить производную входного воздействия, например, производную напряжения u′(τ );
7) подставить найденные функции в формулу интеграла Дюамеля (6.158) и произвести расчет тока или напряжения на выходе цепи в соответствии с этой формулой.
Примечание –Последовательность расчета переходных процессов в цепи наосновании интегралов наложения аналогична методу интеграла Дюамеля, следовательно, зная переходную или импульсную характеристики и задавшись напряжением или током на входе цепи, можно рассчитать реакции цепи на ее выходе. Нахождение реакции цепи по импульсной характеристике g(t ) с помощью интегралов наложения проще, чем по ее переходной характеристике h(t ). Однако чаще всего функцию g(t ) определяют на основании функции h(t ) в соответствии с формулой (6.155). В этом случае никаких преимуществ нахождения реакции цепи по
176
импульсной характеристике нет.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!