Временные характеристики электрических цепей
Временной характеристикой электрической цепи называется отклик цепи натиповое воздействие при нулевых начальных условиях. Временными характеристиками электрической цепи являются переходная h(t ) и импульсная g(t ) характеристики.
Переходная характеристика цепи
Переходная характеристика h(t ) электрической цепи —это отклик(реакция)цепи на единичную функцию при нулевых начальных условиях (рисунок 6.23), т.е. если входная величина f (t ) = 1(t ), то выходной величиной будет h(t ) = x(t ).
Рисунок 6.23 – Диаграмма, поясняющая смысл переходной характеристики
Поскольку воздействие начинается в момент времени t = 0 , то отклик h(t ) = 0 при t < 0 , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид h(t ) ⋅ 1(t ).
Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения t = 0 , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время
τ1 , τ 2 , K , τ k , то и переходная характеристика также может быть представлена с
| запаздывающим аргументом, т.е. | h(t −τ 2),K, h(t −τ k ) | |||||
| или | h(t −τ1), | |||||
| h(t −τ1)⋅1(t −τ1), h(t −τ 2)⋅1(t −τ 2),K, h(t −τ k )⋅1(t −τ k ). | ||||||
| Переходная | характеристика | h(t ) | имеет несколько разновидностей, | |||
| представленных в таблице 6.6. | ||||||
| Таблица 6.6 – Переходные характеристики цепи
| ||||||
| Вид воздействия | Вид реакции | Переходная характеристика | ||||
| f (t ) | x(t ) | h(t ) | ||||
| Единичный скачок | Ток | k i (t )—коэффициент передачи по току | ||||
| тока |
| |||||
| Напряжение | z(t )—переходное сопротивление | |||||
169
Продолжение таблицы 6.6
| Вид воздействия | Вид реакции | Переходная характеристика |
| f (t ) | x(t ) | h(t ) |
| Единичный скачок | Ток | y(t )—переходная проводимость |
| напряжения | Напряжение | k u (t )—коэффициент передачи по напряжению |
Примечание –Существует два способа определения переходной характеристики
— расчетный и экспериментальный.
Для определения переходной характеристики расчетным способом необходимо: классическим методом определить отклик цепи на постоянное воздействие; полученный отклик разделить на величину постоянного воздействия и тем самым определить переходную характеристику.
При экспериментальном определении переходной характеристики необходимо: на вход цепи подать постоянное напряжение и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно входного напряжения — это и есть переходная характеристика.
|
|
|
7) качестве примера определим переходную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.8.1 было установлено, что реакция данной цепи (сила тока) на постоянное воздействие (постоянную ЭДС E ) определяется выражением (6.39):
| i(t )= | E | e− | t | τ = RC . | |||||||||||||
|
| τ | , |
| ||||||||||||||
| R | |||||||||||||||||
| Разделив силу тока i(t ) на величину ЭДС | E , | получим переходную характеристику | |||||||||||||||
| R , C –цепи по току: | |||||||||||||||||
| i(t ) | 1 | e− | t | ||||||||||||||
| h (t )= | ⋅1(t ) = | ⋅1(t ). | (6.151) | ||||||||||||||
| τ | |||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||
| i | E | R | |||||||||||||||
| 6.20.2 Импульсная характеристика цепи | |||||||||||||||||
| Импульсная | характеристика g(t ) электрической цепи | (функция веса) — это | |||||||||||||||
| отклик (реакция) | цепи на дельта-функцию | при нулевых
| начальных условиях | ||||||||||||||
| (рисунок 6.24), т.е. | если входная величина | f (t )= δ (t ),то выходной величиной будет | |||||||||||||||
g(t )= x(t ).
Рисунок 6.24 – Диаграмма, поясняющая смысл импульсной характеристики
Поскольку воздействие начинается в момент времени t = 0 , то отклик g(t) = 0 при t < 0 , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид g(t ) ⋅ 1(t ).
Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения t = 0 , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время
170
τ1 , τ 2 , K , τ k , то и импульсная характеристика также может быть представлена с
запаздывающим аргументом, т.е.
g(t −τ1), g(t −τ 2),K, g(t −τ k )
или
g(t −τ1)⋅1(t −τ1), g(t −τ 2)⋅1(t −τ 2),K, g(t −τ k )⋅1(t −τ k ).
Так как дельта-функция является первой производной от единичной функции и рассматриваемая электрическая цепь линейная, то аналогичная связь существует и между импульсной и переходной характеристиками g(t) и h(t ):
| g(t )= | dh(t ) | ′ | (6.152) | |
| dt = h (t ), | ||||
т.е. импульсная характеристика равна первой производной от переходной характеристики.Из(6.152)следует и обратное соотношение
|
|
|
| h(t )=∫t | g(τ )d τ . | (6.153) | |||||
| 0 | |||||||
| Используя | правила | дифференцирования | произведения | функций, | |||
| соотношение (6.152) можно преобразовать к виду | |||||||
| ′ | ′ | ||||||
| g(t ) | =(h (t )⋅1(t )) | (6.154) | |||||
| = h (t )⋅1(t )+ h(t )δ (t ) | |||||||
| или при нулевых начальных условиях | |||||||
| ′ | ′ | ||||||
| g(t )=(h (t )⋅1(t )) | (6.155) | ||||||
| = h (t )⋅1(t )+ h(0)δ (t ). | |||||||
Примечание –Существует два способа определения импульсной характеристики
— расчетный и экспериментальный.
Расчетным способом импульсную характеристику определяют по переходнойхарактеристике на основании формул (6.154) или (6.155).
При экспериментальном определении импульсной характеристики необходимо:
на вход цепи подать, например, прямоугольный импульс длительностью τ и << τ и снять
осциллограмму реакции цепи ; полученные значения пронормировать относительно площади входного процесса — это и есть импульсная характеристика.
p качестве примера определим импульсную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.20.1 было получено соотношение (6.151) для переходной характеристики этой цепи. Импульсная характеристика в соответствии с выражением (6.155) тогда будет иметь вид
|
| 1 | − | t | ′ | 1 | − | 0 | δ (t )=− | 1 |
| − | t | 1 | δ (t ). | |||||||
|
| e | τ | e | τ | e | τ | + | ||||||||||||||
| g i (t )= | R | ⋅1(t )+ | R | R τ | R | ||||||||||||||||
| 6.21 Определение | реакции | цепи | на | воздействие | произвольной формы. | ||||||||||||||||
| Формула интеграла Дюамеля | |||||||||||||||||||||
| Пусть требуется определить ток i(t ) в линейном пассивном двухполюснике, | |||||||||||||||||||||
| переходная характеристика h(t ) которого известна, при включении двухполюсника на | |||||||||||||||||||||
| напряжение u(t ), т.е. внешнее воздействие | f (t )на цепь представлено напряжением,а | ||||||||||||||||||||
| реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока: | f (t )= u(t ), x(t )= i(t ).Кривая | ||||||||||||||||||||
| напряжения u(t ) изображена на рисунке 6.25. | |||||||||||||||||||||
171
Рисунок 6.25 – Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление совокупностью элементарных скачков
Выберем некоторый произвольный фиксированный момент времени t и рассчитаем переходной ток к этому моменту времени . В связи с этим введем новое обозначение текущего времени через τ , изменяющегося в пределах 0 ≤ τ ≤ t .
В дальнейшем будем различать u(t ) и i(t ) как функции момента наблюдения t , а u(τ )и i(τ )—как функции текущего времени τ .
Заданное непрерывно изменяющееся напряжении u(t ) приближенно представим в виде суммы начального напряжения u(0), включаемого в момент времени τ = 0 , и большого числа последовательно включаемых элементарных скачков напряжения u1, u2,K, u k ,K, u n ,каждый из которых после включения действует от
момента времени τ k ( k = 1,n ) до бесконечности (рисунок 6.25).
Под влиянием скачка напряжения u(0) в цепи возникает переходной процесс. До момента наблюдения переходной процесс будет продолжаться t секунд.
Под влиянием скачка напряжения u1 , включаемого в момент времени τ1 , в соответствии с принципом наложения возникнет дополнительный переходной процесс, продолжительность которого к моменту наблюдения t составит (t −τ1 ) секунд.
Продолжая рассуждения аналогичным образом, придем к выводу, что
продолжительность переходного процесса, возникающего в цепи под влиянием скачка
u k ,до момента наблюдения t будет(t −τ k )секунд и т.д.
Используя единичную функцию с запаздывающим аргументом, можно
приложенное к цепи напряжение u(t ) приближенно записать в виде суммы
u(t )≈ u(0)1(t )+ u11(t −τ1)+ u21(t −τ 2)+K+ u k 1(t −τ k )+K+ u n1(t −τ n )
или
n
u(t )≈ u(0)1(t )+∑
u k 1(t
−τ
k ).
(6.156)
k =1
Реакция цепи (в рассматриваемом случае — ток) определится как алгебраическая сумма реакций цепи на воздействие начального напряжения u(0 ) и всех последующих
скачков напряжения u k ,включаемых друг за другом.
172
|
|
| f1(t) |
Под влиянием составляющей напряжения u(0)1(t ) в цепи появится составляющая тока i(τ ), которая к моменту наблюдения t приобретет значение i(t ) = u(0 )h(t ).
Спустя время τ1 напряжение возрастет скачком на величину u1,что вызовет
ответную реакцию цепи в виде добавочной составляющей тока i1= u1h(t −τ1).
Продолжая рассуждения аналогичным образом, найдем, что в момент τ k скачок
напряжения u k вызовет ток i k = u k h(t −τ k )и т.д.
Искомый переходной ток будет равен сумме составляющих, найденных для момента времени t , т.е.
i(t )≈ u(0)h (t )+ u1h(t −τ1)+ u2 h(t −τ 2)+K+ u k h(t −τ k )+K+ u n h(t −τ n )
или
n
i(t )≈ u(0)h (t )+∑ u k h(t −τ k ), (6.157)
k =1
где n — число промежутков, на которые разбит интервал времени от 0 до t .
Чтобы получить выражение для тока, соответствующего не ступенчатому, а непрерывному напряжению, необходимо промежутки (скачки) времени τ k уменьшить
до бесконечно малой величины d τ , а число промежутков увеличить до
| бесконечности ( n → ∞ ). В | этом случае сами скачки будут величинами | бесконечно | ||
| малыми, т.е. lim | u k = du k | = u k′(τ )d τ , τ → d τ , n →∞,а сумма в выражении(6.157) | ||
| перейдет в интеграл. Следовательно, ток i(t ) в цепи как отклик на непрерывное | ||||
| напряжение u(t ) | будет равен: | |||
| i(t )= u(0)h (t )+∫t | u′(τ )h (t −τ )d τ , | (6.158) | ||
0
где u′(τ ) — производная напряжения в точке t = τ .
Уравнение (6.158) и его частные виды называют формулой интеграла Дюамеля или просто интегралом Дюамеля. Соотношение (6.158) есть первая форма интеграла Дюамеля.Для расчета тока по формуле(6.158)необходимо знать закон изменениязаданного напряжения u(t ) в аналитической форме и переходную характеристику цепи h(t ).Напряжение,подводимое к цепи,задается,а переходная характеристика,как
отмечалось выше, определяется из расчета переходного процесса в цепи при
воздействии на нее единичного скачка напряжения.
Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций и f2 (t ) существует соотношение
| ∫t | f1(t −τ ) f 2(τ )d τ =∫t | f1(τ ) f 2(t −τ )d τ , | (6.159) |
| 0 | 0 |
которое является интегралом свертки. Это соотношение легко проверить путем замены переменных интегрирования.
Для получения второй формы интеграла Дюамеля воспользуемся свойством коммутативности свертки (6.159). Тогда
173
i(t )= u(0)h (t )+∫t u′(t −τ )h (τ )d τ . (6.160)
0
Используя правило интегрирования по частям в первой форме записи интеграла Дюамеля (6.158), найдем третью форму записи:
| i(t )= u(0)h (t )+∫t | u′(τ )h (t −τ )d τ = u(0)h (t )+∫t | h(t −τ )du(τ )= |
| 0 | 0 |
t
В u(0)h (t )+ u(τ )h (t −τ )t0+∫u(τ )h ′(t −τ )d τ .
0
Подставив пределы интегрирования, получим
t
| ′ | −τ )d τ . | (6.161) | |
| i(t )= u(t )h (0)+∫u(τ )h (t | |||
| 0 | |||
| Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.161) можно | |||
| записать так: | |||
| t | |||
| ′ | (6.162) | ||
| i(t )= u(t )h (0)+∫u(t −τ )h (τ )d τ . | |||
0
Уравнение (6.162) является четвертой формой интеграла Дюамеля. Пользуясь правилом дифференцирования определенных интегралов по параметру , все четыре формы записи интеграла Дюамеля (6.158), (6.160) – (6.162) можно свести к двум:
| i(t )= | d | ∫t | u(τ )h (t −τ )d τ , | i(t )= | d | ∫t | u(t −τ )h (τ )d τ . | (6.163) | |
| dt | dt | ||||||||
| 0 | 0 | ||||||||
Соотношения (6.163) называют соответственно пятой и шестой формами интеграла Дюамеля.
Примечание –Все шесть форм записи интеграла Дюамеля в теоретическомотношении равноценны.Ту или иную форму записи выбирают только из соображенийпростоты вычислений. Например, если u(0) = 0 , то удобнее первая (6.158) и вторая (6.160) формы записи, так как первое слагаемое в этих формах записи обращается в нуль. Если h(0 ) = 0 , то целесообразнее использовать третью (6.161) и четвертую (6.162) формы записи. Если h(t ) выражается через экспоненциальную функцию, то также
следует предпочесть выражения (6.161) и (6.162), так как экспоненциальные функции просто дифференцируются.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 802; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!