Временные характеристики электрических цепей



 

Временной характеристикой электрической цепи называется отклик цепи натиповое воздействие при нулевых начальных условиях. Временными характеристиками электрической цепи являются переходная h(t ) и импульсная g(t ) характеристики.

 

Переходная характеристика цепи

Переходная характеристика h(t ) электрической цепи —это отклик(реакция)цепи на единичную функцию при нулевых начальных условиях (рисунок 6.23), т.е. если входная величина f (t ) = 1(t ), то выходной величиной будет h(t ) = x(t ).

 

 

Рисунок 6.23 – Диаграмма, поясняющая смысл переходной характеристики

 

Поскольку воздействие начинается в момент времени t = 0 , то отклик h(t ) = 0 при t < 0 , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид h(t ) ⋅ 1(t ).

Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения t = 0 , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время

 

τ1 , τ 2 , K , τ k , то и переходная характеристика также может быть представлена с

запаздывающим аргументом, т.е.

h(t τ 2),K, h(t τ k )

 

или

h(t τ1),  
       

h(t τ1)⋅1(t τ1), h(t τ 2)⋅1(t τ 2),K, h(t τ k )⋅1(t τ k ).

 
Переходная характеристика h(t ) имеет несколько разновидностей,  

представленных в таблице 6.6.

     

Таблица 6.6 – Переходные характеристики цепи

   
         
Вид воздействия Вид реакции   Переходная характеристика  
f (t ) x(t )   h(t )  
Единичный скачок Ток

k i (t )—коэффициент передачи по току

 

тока

 

 

 
Напряжение

z(t )—переходное сопротивление

 

 


 

169


Продолжение таблицы 6.6

 

Вид воздействия Вид реакции Переходная характеристика
f (t ) x(t ) h(t )
Единичный скачок Ток y(t )—переходная проводимость
напряжения Напряжение k u (t )—коэффициент передачи по напряжению

 

Примечание –Существует два способа определения переходной характеристики

 

расчетный и экспериментальный.

Для определения переходной характеристики расчетным способом необходимо: классическим методом определить отклик цепи на постоянное воздействие; полученный отклик разделить на величину постоянного воздействия и тем самым определить переходную характеристику.

 

При экспериментальном определении переходной характеристики необходимо: на вход цепи подать постоянное напряжение и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно входного напряжения — это и есть переходная характеристика.

 

7) качестве примера определим переходную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.8.1 было установлено, что реакция данной цепи (сила тока) на постоянное воздействие (постоянную ЭДС E ) определяется выражением (6.39):

 

 

i(t )=

 

E

 

e

t

 

τ = RC .

   
   

 

τ

,

 

   
         
       

R

             

Разделив силу тока i(t ) на величину ЭДС

E ,

получим переходную характеристику

 

R , C –цепи по току:

                         
   

i(t )

       

1

e

t

   
 

h (t )=

⋅1(t ) =

 

⋅1(t ).

(6.151)

 
 

τ

 
 

 

   
 

i

E

 

R

         
                 

6.20.2 Импульсная характеристика цепи

         
Импульсная

характеристика g(t ) электрической цепи

(функция веса) — это  
отклик (реакция)

цепи на дельта-функцию

при нулевых

начальных условиях  
(рисунок 6.24), т.е.

если входная величина

f (t )= δ (t ),то выходной величиной будет

 

g(t )= x(t ).

 

 

Рисунок 6.24 – Диаграмма, поясняющая смысл импульсной характеристики

 

Поскольку воздействие начинается в момент времени t = 0 , то отклик g(t) = 0 при t < 0 , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид g(t ) ⋅ 1(t ).

 

Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения t = 0 , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время


 

170


τ1 , τ 2 , K , τ k , то и импульсная характеристика также может быть представлена с

 

запаздывающим аргументом, т.е.

g(t τ1),   g(t τ 2),K, g(t τ k )

или

g(t τ1)⋅1(t τ1),       g(t τ 2)⋅1(t τ 2),K, g(t τ k )⋅1(t τ k ).

 

Так как дельта-функция является первой производной от единичной функции и рассматриваемая электрическая цепь линейная, то аналогичная связь существует и между импульсной и переходной характеристиками g(t) и h(t ):

 

g(t )=

dh(t )

(6.152)

 
   

dt = h (t ),

 

т.е. импульсная характеристика равна первой производной от переходной характеристики.Из(6.152)следует и обратное соотношение

   

h(t )=∫t

g(τ )d τ .   (6.153)  
      0        
Используя правила

дифференцирования

произведения функций,  

соотношение (6.152) можно преобразовать к виду

     
     

     
 

g(t )

=(h (t )⋅1(t ))

   

(6.154)

 
 

= h (t )⋅1(t )+ h(t )δ (t )

 

или при нулевых начальных условиях

         
     

     
 

g(t )=(h (t )⋅1(t ))

   

(6.155)

 
 

= h (t )⋅1(t )+ h(0)δ (t ).

 

Примечание –Существует два способа определения импульсной характеристики

расчетный и экспериментальный.

Расчетным способом импульсную характеристику определяют по переходнойхарактеристике на основании формул (6.154) или (6.155).

 

При экспериментальном определении импульсной характеристики необходимо:

на вход цепи подать, например, прямоугольный импульс длительностью τ и << τ и снять

 

осциллограмму реакции цепи ; полученные значения пронормировать относительно площади входного процесса — это и есть импульсная характеристика.

 

p качестве примера определим импульсную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.20.1 было получено соотношение (6.151) для переходной характеристики этой цепи. Импульсная характеристика в соответствии с выражением (6.155) тогда будет иметь вид

 

1

 

t

 

1

 

0

δ (t )=−

1

 

 

t  

1

δ (t ).

 
                 

 

 

e

τ

   

e

τ

   

e

τ

+

   
             
g i (t )=

R

   

⋅1(t )+

R

   

R τ

   

R

 
                                 
6.21 Определение

реакции

цепи

 

на

воздействие

произвольной формы.

 

Формула интеграла Дюамеля

                               

Пусть требуется определить ток i(t ) в линейном пассивном двухполюснике,

 

переходная характеристика h(t ) которого известна, при включении двухполюсника на

 

напряжение u(t ), т.е. внешнее воздействие

 

f (t )на цепь представлено напряжением,а

 

реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока:

 

f (t )= u(t ), x(t )= i(t ).Кривая

 

напряжения u(t ) изображена на рисунке 6.25.

                     

 


 

171


 

Рисунок 6.25 – Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление совокупностью элементарных скачков

 

Выберем некоторый произвольный фиксированный момент времени t и рассчитаем переходной ток к этому моменту времени . В связи с этим введем новое обозначение текущего времени через τ , изменяющегося в пределах 0 ≤ τt .

 

В дальнейшем будем различать u(t ) и i(t ) как функции момента наблюдения t , а u(τ i(τ )—как функции текущего времени τ .

Заданное непрерывно изменяющееся напряжении u(t ) приближенно представим в виде суммы начального напряжения u(0), включаемого в момент времени τ = 0 , и большого числа последовательно включаемых элементарных скачков напряжения u1, u2,K, u k ,K, u n ,каждый из которых после включения действует от

момента времени τ k ( k = 1,n ) до бесконечности (рисунок 6.25).

Под влиянием скачка напряжения u(0) в цепи возникает переходной процесс. До момента наблюдения переходной процесс будет продолжаться t секунд.

 

Под влиянием скачка напряжения u1 , включаемого в момент времени τ1 , в соответствии с принципом наложения возникнет дополнительный переходной процесс, продолжительность которого к моменту наблюдения t составит (tτ1 ) секунд.

 

Продолжая рассуждения аналогичным образом, придем к выводу, что

 

продолжительность переходного процесса, возникающего в цепи под влиянием скачка

u k ,до момента наблюдения t будет(t τ k )секунд и т.д.

Используя единичную функцию с запаздывающим аргументом, можно

приложенное к цепи напряжение u(t ) приближенно записать в виде суммы

u(t )≈ u(0)1(t )+          u11(t τ1)+    u21(t τ 2)+K+ u k 1(t τ k )+K+                                     u n1(t τ n )

 

или


n

u(t )≈ u(0)1(t )+∑


 

 

u k 1(t


 

 

τ


 

 

k ).


 

 

(6.156)

 


k =1

Реакция цепи (в рассматриваемом случае — ток) определится как алгебраическая сумма реакций цепи на воздействие начального напряжения u(0 ) и всех последующих


 

скачков напряжения u k ,включаемых друг за другом.

 

 

172


 

f1(t)

Под влиянием составляющей напряжения u(0)1(t ) в цепи появится составляющая тока i(τ ), которая к моменту наблюдения t приобретет значение i(t ) = u(0 )h(t ).

Спустя время τ1 напряжение возрастет скачком на величину          u1,что вызовет

ответную реакцию цепи в виде добавочной составляющей тока i1= u1h(t τ1).

Продолжая рассуждения аналогичным образом, найдем, что в момент τ k скачок

напряжения u k вызовет ток i k = u k h(t τ k )и т.д.

Искомый переходной ток будет равен сумме составляющих, найденных для момента времени t , т.е.

i(t )≈ u(0)h (t )+   u1h(t τ1)+ u2 h(t τ 2)+K+ u k h(t τ k )+K+ u n h(t τ n )

или

n

i(t )≈ u(0)h (t )+∑                                                                          u k h(t τ k ),                                               (6.157)

k =1

где n — число промежутков, на которые разбит интервал времени от 0 до t .

Чтобы получить выражение для тока, соответствующего не ступенчатому, а непрерывному напряжению, необходимо промежутки (скачки) времени τ k уменьшить

до бесконечно малой величины  d τ ,  а число промежутков увеличить до

бесконечности ( n → ∞ ). В

этом случае сами скачки будут величинами

бесконечно
малыми, т.е. lim u k = du k

= u k′(τ )d τ , τ d τ , n →∞,а сумма в выражении(6.157)

перейдет в интеграл. Следовательно, ток i(t ) в цепи как отклик на непрерывное

напряжение u(t )

будет равен:

   
    i(t )= u(0)h (t )+∫t u′(τ )h (t τ )d τ , (6.158)

0

где u′(τ ) — производная напряжения в точке t = τ .

Уравнение (6.158) и его частные виды называют формулой интеграла Дюамеля или просто интегралом Дюамеля. Соотношение (6.158) есть первая форма интеграла Дюамеля.Для расчета тока по формуле(6.158)необходимо знать закон изменениязаданного напряжения u(t ) в аналитической форме и переходную характеристику цепи h(t ).Напряжение,подводимое к цепи,задается,а переходная характеристика,как

отмечалось выше, определяется из расчета переходного процесса в цепи при

воздействии на нее единичного скачка напряжения.

Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций и f2 (t ) существует соотношение

t f1(t τ ) f 2(τ )d τ =∫t f1(τ ) f 2(t τ )d τ , (6.159)
0 0    

которое является интегралом свертки. Это соотношение легко проверить путем замены переменных интегрирования.

Для получения второй формы интеграла Дюамеля воспользуемся свойством коммутативности свертки (6.159). Тогда


173


i(t )= u(0)h (t )+∫t u′(t τ )h (τ )d τ .                       (6.160)

 

0

 

Используя правило интегрирования по частям в первой форме записи интеграла Дюамеля (6.158), найдем третью форму записи:

i(t )= u(0)h (t )+∫t u′(τ )h (t τ )d τ = u(0)h (t )+∫t h(t τ )du(τ )=
0 0  

t

В u(0)h (t )+ u(τ )h (t τ )t0+∫u(τ )h ′(t τ )d τ .

0

 

Подставив пределы интегрирования, получим

 

t

τ )d τ .

(6.161)

 
i(t )= u(t )h (0)+∫u(τ )h (t  
0      

Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.161) можно

 
записать так:      
t      
 

(6.162)

 

i(t )= u(t )h (0)+∫u(t τ )h (τ )d τ .

 

0

 

Уравнение (6.162) является четвертой формой интеграла Дюамеля. Пользуясь правилом дифференцирования определенных интегралов по параметру , все четыре формы записи интеграла Дюамеля (6.158), (6.160) – (6.162) можно свести к двум:

 

i(t )=

d

t

u(τ )h (t τ )d τ ,

i(t )=

d

t

u(t τ )h (τ )d τ .

(6.163)

 
dt dt  

0

 

0

     

Соотношения (6.163) называют соответственно пятой и шестой формами интеграла Дюамеля.

Примечание Все шесть форм записи интеграла Дюамеля в теоретическомотношении равноценны.Ту или иную форму записи выбирают только из соображенийпростоты вычислений. Например, если u(0) = 0 , то удобнее первая (6.158) и вторая (6.160) формы записи, так как первое слагаемое в этих формах записи обращается в нуль. Если h(0 ) = 0 , то целесообразнее использовать третью (6.161) и четвертую (6.162) формы записи. Если h(t ) выражается через экспоненциальную функцию, то также

 

следует предпочесть выражения (6.161) и (6.162), так как экспоненциальные функции просто дифференцируются.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 93;