Решение уравнений переменных состояния
Уравнения переменных состояния могут быть решены аналитически или с помощью численных методов. Аналитическое решение для сложных линейных цепей сопряжено с большими трудностями, а для нелинейных в большинстве случаев невозможно . Таким образом, метод переменных состояния — один из методов анализа переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ. Рассмотрим далее аналитическое решение матричного уравнения состояния (6.89).
Если в послекоммутационной схеме цепи источники тока и ЭДС отсутствуют, т.е.
и = 0 , то уравнение (6.89) упростится:
150
| X ′− AX =0. | (6.98) |
Уравнение (6.98) характеризует свободные процессы в цепи. Его решение очевидно и записывается в виде
| X (t )= eAt X (0), | (6.99) |
где eAt — матричная экспоненциальная функция.
Если в послекоммутационной схеме имеются источники тока и ЭДС, т.е. V ≠ 0 ,
| то решение уравнения (6.89) представляют равенством | |||
| в котором Θ (t ) | X (t )= eAt Θ (t ), | (6.100) | |
| — некоторая неизвестная матричная функция | цепи.Получим | ||
математическое выражение для этой функции, для чего продифференцируем решение (6.100):
| d | X (t)= AeAt Θ(t)+eAt | d | Θ (t ). | (6.101) | |
| dt | dt | ||||
Сравнение соотношений (6.100) и (6.101) с уравнением (6.89) приводит к следующему равенству:
|
| eAt | d | Θ (t )= BV (t ). | |||||
| dt | ||||||||
| Умножим это равенство на e− At , тогда | ||||||||
| d | Θ (t ) | = e−At BV (t ). | (6.102) | |||||
| dt | ||||||||
| Проинтегрировав обе части уравнения (6.102), найдем, что | ||||||||
| Θ (t )=∫t | e−Aτ BV (τ )d τ , | (6.103) | ||||||
| −∞ | ||||||||
| где τ — переменная интегрирования. | ||||||||
| Представим соотношение (6.103) в виде | ||||||||
| Θ (t )=∫0 e−Aτ BV (τ )d τ +∫t | e− Aτ BV (τ )d τ | |||||||
| −∞ | 0 | |||||||
и подставим его в общее решение (6.100) уравнения состояния:
| X (t )= eAt ∫0 | e− Aτ BV (τ )d τ + eAt ∫t | e− Aτ BV (τ )d τ , | (6.104) |
| − ∞ | 0 |
в частности, при t = 0
X (0)=∫0e− Aτ BV (τ)d τ.
−∞
Следовательно, равенство (6.104) для переменных состояния можно представить в следующей форме:
| X (t )= eAt X (0)+∫t | eA( t -τ )BV (τ )d τ . | (6.105) | |
| 0 | |||
| Выражение (6.105) дает полное решение | поставленной | задачи, | т.е. позволяет |
151
определить значения переменных состояния. Это решение, как видно, содержит два слагаемых. Первое слагаемое согласно (6.99) представляет собой реакцию вектора переменных состояния при отсутствии источников, а второе слагаемое — это реакция
| цепи при нулевых начальных условиях. В частном случае, | когда V не зависит от |
| времени, решение (6.105) уравнения состояния упрощается: | |
| X (t )= eAt X (0)+(eAt −1)A -1 BV . | (6.106) |
| Примечание – Основная трудность аналитического | решения уравнения |
состояния заключается в определении матричной экспоненциальной функции eAt . Для вычисления этой функции может быть использована формула Сильвестра, согласно которой
| n | |||||||
| n | ∏( A − λ i ⋅1) | ||||||
| At | = ∑ | i=1,i≠k | λ t | ||||
| e |
| e k | , | ||||
| n | |||||||
| k =1 | ∏(λ k − λ i ) | ||||||
| i=1,i≠k | |||||||
где 1 — единичная матрица порядка n , λ k — собственные значения матрицы A , т.е. корни уравнения det( A − λ ⋅1) = 0 или уравнения
| a11− λ | a12 | a13 | Ka1n | |||
| a21 | a22− λ a23 | Ka2n | = 0 , | |||
| M | M | M | M | M | ||
| a n1 | a n2 | a n3 | K a nn − λ | |||
В котором a ik ( i,k = 1,n ) — элементы матрицы A . Отметим, что собственные значения
λ k матрицы A совпадают с корнями λ k характеристического уравнения (6.10).
Операторный метод расчета переходных процессов. Основные положения
Сущность операторного метода заключается в том, что функции f (t ) вещественной переменной t , называемой оригиналом, ставится в соответствие функция F ( p)комплексной переменной p ,называемая изображением (Лапласовым образом),
| согласно функциональному соотношению | |
| F ( p)=+∫∞ f (t )e− pt dt . | (6.107) |
| 0 |
| Это соотношение определяет интегральное преобразование Лапласа и кратко | ||||
| обозначается так: | F (p)G f (t )или F (p)=3[f (t )]. | |||
| Существует | обратное преобразование Лапласа,позволяющее найти | оригинал | ||
| f (t )по его изображению F ( p): | ||||
| α +β j | ||||
| f (t )= lim F ( p)e pt dp . | (6.108) | |||
| β →∞ | ∫ | |||
α −β j
152
Обратное преобразование кратко записывают так: f (t ) = 3−1[F ( p)].
n результате применения преобразования Лапласа (6.107) производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений, что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находится изображение и далее путем обратного преобразования — оригинал.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 203; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!