Диференціальне числення функції однієї змінної



 

2.1 Похідна функції в точці

Похідною функції  в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції  до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

.       (2.1)

Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною вцій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд

,                      (2.2)

де  – нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.

Якщо , тоді функція  в точці х має нескінченну похідну.

Основні правила диференціювання

                      (1)

                                    (2)

                          (3)

                                             (4)

                                     (5)

 

Похідні основних елементарних функцій

                                        (6)

            (7)

                       (8)

                                            (9)

                             (10)

                           (11)

 (12)

 (13)

       (14)

    (15)

                        (16)

                    (17)

        (18)

     (19)

               (20)

                     (21)

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Використовуючи формули, маємо:

        

Приклад 4. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 5. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 6. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 7. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Похідна складеної та оберненої функції

Якщо функція  має похідну в точці х, а функція  – має похідну в точці , тоді складена функція  диференційовна в точці х, причому

 або

Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.

Наприклад, для складеної функції виду , де , ,  – диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність

.

Якщо неперервна та строго монотонна в деякому околі точки х функція  має похідну  в цій точці, тоді обернена функція  в точці у має похідну, причому

.

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо:

Приклад 3. Обчислити похідну функції .

Розв’язання. За правилом диференціювання частки маємо:

Знайдемо похідну функції , розглядаючи ії як композицію двох диференційованих функцій та . За правилом обчислення похідної функції дістанемо:

, тобто .

Таким чином,

Приклад 4. Знайти похідну функції, оберненої до

.

Розв’язання. Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна , не перетворюється в нуль в жодній точці, тому за правилом диференціювання оберненої функції маємо:

.

Приклад 5. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

 

Диференціювання показниково-степеневої функції

Похідна показниково-степеневої функції ,  знаходиться за формулою

Похідні показникових та логарифмічних функцій

                                      (1)

                                            (2)

                   (3)

                                            (4)

Якщо  – диференційовна функція від х, формули мають вигляд:

                                (5)

                                        (6)

                                  (7)

                                           (8)

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосовуючи наведені формули, маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосовуючи формули, знаходимо:

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. За наведеними формулами, маємо:

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 16;