Основні властивості диференціала
Для довільних диференційованих функцій та мають місце такі рівності:
1. ;
2. — довільні сталі ;
3. ;
4. ;
5. .
П риклад 1. Знайти диференціал функції .
Розв’язання. За формулою
Приклад 2. Знайти диференціал функції .
Розв’язання. За формулою
Застосування диференціала до наближених обчислень
При малих справедлива формула , тобто
.
Приклад 1. Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції в точці .
Розв’язання. Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення и , — це точка .
, .
За наведеною формулоюмаємо
Приклад 2. Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об’єм його зменшиться з 64 до 63,98 м3.
Розв’язання. Якщо х – об’єм куба, а у – його ребро, тоді
.
За умовою задачі , . Приріст сторони куба обчислюємо наближено:
,
тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м.
Похідні та диференціали вищих порядків
Похідні вищих порядків
Похідною другого порядку (другою похідною функції) у точці х називається похідна від її першої похідної при умові, що диференційовна в точці х. Вона позначається такими символами:
, , , , .
Аналогічно визначається похідна п-го порядку функції , яка має (п-1) похідну в точці х:
Похідну, для якої існує п-а похідна в точці х, називають п разів диференційовною в цій точці.
Основні формули обчислення похідних вищих порядків
зокрема,
|
|
Основні правила обчислення похідних
Якщо функції та п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:
1)
2) (формула Лейбніца)
де
Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично
Якщо функція задана параметрично рівняннями , , тоді похідні обчислюються за формулами:
і т.д.
Для похідної другого порядку має місце формула:
Диференціали вищих порядків
Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції називають диференціал від диференціала першого порядку функції , тобто . У випадку, коли х – незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами:
Якщо ж х — деяка функція від t, , тоді
і т.д.
Якщо для функцій та , х — незалежна змінна, існують диференціали та , тоді
( — сталі),
Приклад 1. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично
Розв’язання.
Приклад 2. Знайти похідну другого порядку функції
Розв’язання. Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:
Тоді друга похідна дорівнює:
Приклад 3. Знайти диференціал другого порядку функції в точці .
Розв’язання. Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку обчислюється :
|
|
Тоді
Отже,
Приклад 4. Знайти у випадку, коли функція задана неявно рівнянням
Розв’язання. Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у є функція від х:
Звідси тобто , тому
Підставляючи замість відповідне значення, знаходимо:
Приклад 5. Знайти функції, яка задана параметрично рівняннями:
Розв’язання. За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:
Приклад 6. Знайти , якщо .
Розв’язання. З попереднього прикладу маємо , . Тоді
Приклад 7. Знайти , якщо .
Розв’язання.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 180; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!