Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично



 

Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом , необхідно цей вираз продиференціювати по х, вважаючи у функцією від х, і з одержаної рівності знайти .

Похідна функції

яка задана параметрично, обчислюється за формулою:

за умови, що  диференційовні в точці  функції, причому .

Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням .

Розв’язання. Диференціюючи, дістанемо:

відкіля

Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно

.

Розв’язання. Диференціюючи, маємо

З цього рівняння знаходимо :

Приклад 3. Знайти , якщо .

Розв’язання.

Приклад 4. Знайти в точці  похідну  функції, яка задана параметрично:

Розв’язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:

Таким чином,

Приклад 5. Знайти , якщо .

Розв’язання.

 

Тренувальні вправи

Знайти похідні функцій, які задані неявно:

1. .

2. .

    3. .

4. .

5. .

6. .

    7. .

8. .

9. Знайти  в точці М (1, 1), якщо .

10. Знайти при , якщо .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19*. .

20. .

Знайти похідну функції, яка задана параметрично:

21.         

22.

23.

24.

25.            

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37*.

Логарифмічне диференціювання

 

Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:

Знайдемо похідну від лівої та правої частин:

звідки

Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції

.

Приклад 2. Продиференціювати функцію:

Розв’язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.

Дійсно,

Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:

Тоді

 

Геометричний та фізичний зміст похідної

Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.

Геометричний зміст похідної

Похідна функції  для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто

,

де  – кут, який утворює дотична до графіка функції в точці  з додатним напрямком осі .

На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції  записується таким чином:

Якщо неперервна функція в точці  має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці  буде пряма .

Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику , перпендикулярно до дотичної (пряма ), рівняння має вигляд

У випадку  нормаллю буде пряма ; якщо функція в точці  має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма .

У деяких задачах потрібно знайти кут  між кривими  та  в їх точці перетинання.

Кутом  між кривими вважається величина кута  між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання;  обчислюється за формулою:

В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:

а) відрізок дотичної :

б) відрізок нормалі :

в) піддотична ТК:

г) піднормаль :

Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція  перетинає вісь абсцис.

Розв’язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках . Якщо , тоді

,

тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках  графік функції  перетинає вісь абсцис під кутом .

Якщо , тоді . Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь  під кутом .

Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої

 в точці .

Розв’язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці :

Отже, отримаємо рівняння дотичної:

 або

Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично:  в точці .

Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:

Значення  та  відповідають значенню :

Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:

.

В точці  маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді

, або .

Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої  у точці .

Розв’язання. Значення похідної даної функції в точці А:

Рівняння дотичної:

Рівняння нормалі:

Фізичний зміст похідної

Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:

1) при русі тіла швидкість  в даний момент часу  є похідною від шляху :

2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі  кутова швидкість  в даний момент часу  є похідною від кута повороту :

3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу  є похідною від температури

4) теплоємність С для даної температури  є похідною від кількості тепла :

5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення  при даному значенні температури  є похідною від довжини :

Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням , наприкінці третьої та десятої секунд.

Розв’язання. Швидкість визначається за формулою

Коли , маємо (м/с).

Коли , маємо (м/с).

Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса , оббігаючи коло за час .

Розв’язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час  вона дійшла до положення .

Кут між її радіусом-вектором та віссю  дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут  за час Т, кут  – за одиницю часу і кут  – за час .

Отже, в будь-який момент  положення точки  можна визначити через її дві координати:

Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:

Тоді швидкість точки буде:

Диференціал функції

Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.

 

Диференціалом функції  в точці х називається головна (лінійна відносно ) частина приросту  диференційовної в точці х функції.

Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто

Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:

Тоді формула диференціала має вигляд

відкіля


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 30;