Парність, непарність функцій. Періодичність функцій

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ

Т.М. Сукач

Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи

Навчальний посібник

Алчевськ, 2004

Передмова

Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.

Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв’язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).

Матеріал посібника поділено на 4 глави:

1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.

Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.

Функція, границя, неперервність

Функція. Область визначення функції

Нехай маємо множину Х дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним правилом або законом поставлено у відповідність одне дійсне число у, з множини , то говорять, що на множені Х визначено функцію і записують .

При цьому множина Х називається областю визначення або областю існування функції; х називають аргументом або незалежною змінною; у називають залежною змінною або функцією; називають значенням функції в точці х; — множина, до якої належить значення функції.

Множину всіх значень функції, яких вона набуває при , називають областю значень функції.

Приклад 1. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Функція у існує, якщо підкореневий вираз невід’ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності:

Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок .

Приклад 2. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Функція визначена, якщо .

Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів:

та .

Приклад 3. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Функція визначена, якщо

Тобто

Парність, непарність функцій. Періодичність функцій

Нехай функцію задано на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути або нескінченний інтервал , або скінчений інтервал , або відрізок , де а — будь-яке дійсне число.

Функція , визначена на проміжку , називається парною, якщо для будь-якого виконується рівність

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Функція , визначена на проміжку , називається непарною, якщо для будь-якого виконується рівність

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 1. Нехай , де . Згідно з відомою властивістю даної функції,

Отже, є непарною функцією.

Приклад 2. Нехай , де . Відомо, що

Отже, є парною функцією.

Приклад 3. Дослідити на парність чи непарність функцію

Знайдемо область визначення функції:

Знайдемо :

Одержали, що , тобто — непарна.

Функція , визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує число таке, що для всіх виконується тотожність

Число Т при цьому називається періодом функції , а саму функцію називають Т-переодічною.

Якщо число Т є періодом функції , то й число –Т є також періодом :

Якщо — періодична функція з періодом Т, то функція , де , є періодичною з періодом .

Зокрема, якщо розглянути функцію , де — сталі, то періодом цієї функції є число .

Зауважимо, що функцію у фізиці називають гармонікою, число називають амплітудою, — циклічною частотою, а — початковою фазою гармоніки.