Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Функція називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :
Функція в точці буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:
1. функція визначена в околі точки ;
2. існує границя функції в точці ;
3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
(1)
Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці .
На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:
для того, щоб функція була неперервною в точці , треба щоб:
1. була визначеною в околі точки ;
2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;
3. існувала правостороння границя функції – число
;
4. лівостороння й правостороння границя були рівні
= ;
5. правостороння й лівостороння границя в точці дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто
= =
Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.
Якщо функція визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.
|
|
Функція називається неперервною в точці зліва, якщо виконуються умови:
1. визначена в точці (існує число );
2. в точці існує лівостороння границя функції;
3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, якщо неперервна в точці зліва, то виконується співвідношення
= ,
де — лівостороння границя функції в точці .
Функція називається неперервною в точці справа, якщо виконуються умови:
1. визначена в точці (існує число );
2. в точці існує правостороння границя функції;
3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення
= ,
де — правостороння границя функції в точці .
Точкою розриву функції називають точку в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .
1. Точка є точкою усувного розриву, якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;
2. Точка є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі функції, але , різницю
|
|
називають стрибком функції в точці
3. Точка є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.
Приклад 1. Дослідити точки розриву функції .
Розв’язання. В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:
Оскільки односторонні границі скінченні, але
,
то є точкою розриву першого роду.
Стрибок в даному випадку в точці дорівнює 2.
Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію
Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:
Рівність означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.
Приклад 3. Визначити характер розриву функції
Розв’язання. Функція в точці не визначена.
При маємо , при . Отже, , .
Тому точка є точкою розриву другого роду.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 182; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!