Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність



Функція називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :

Функція  в точці  буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1. функція  визначена в околі точки ;

2. існує границя  функції в точці ;

3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

                       (1)

Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція  була неперервною в точці .

На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:

для того, щоб функція  була неперервною в точці , треба щоб:

1.  була визначеною в околі точки ;

2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;

3. існувала правостороння границя функції – число

;

4. лівостороння й правостороння границя були рівні

= ;

5. правостороння й лівостороння границя в точці  дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто

= =

Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.

Якщо функція  визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.

Функція  називається неперервною в точці  зліва, якщо виконуються умови:

1.  визначена в точці  (існує число );

2. в точці  існує лівостороння границя функції;

3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, якщо  неперервна в точці  зліва, то виконується співвідношення

= ,

де  — лівостороння границя функції в точці .

Функція  називається неперервною в точці  справа, якщо виконуються умови:

1.  визначена в точці  (існує число );

2. в точці  існує правостороння границя функції;

3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення

= ,

де  — правостороння границя функції  в точці .

Точкою розриву функції  називають точку  в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .

1. Точка  є точкою усувного розриву, якщо існує , проте  не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;

2. Точка  є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва  та права  границі функції, але , різницю

називають стрибком функції  в точці

3. Точка  є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці  не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.

Приклад 1. Дослідити точки розриву функції .

Розв’язання. В точці  функція не визначена. Знайдемо при  границі даної функції зліва та справа:

Оскільки односторонні границі скінченні, але

,

то  є точкою розриву першого роду.

Стрибок в даному випадку в точці  дорівнює 2.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Рівність  означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.

Приклад 3. Визначити характер розриву функції

Розв’язання. Функція в точці  не визначена.

При  маємо , при . Отже, , .

Тому точка  є точкою розриву другого роду.


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 182; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!