Властивості нескінченно малих



1. Функцію  можна подати у вигляді , де – стале число;  — нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .

2. Якщо , то .

3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).

4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.

7. Частка  від ділення нескінченно малої при  на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.

При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:

1.

2.

3. Якщо  і  існують, то

4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність

5. Якщо  то

якщо      то

6. Якщо  то   

7. Якщо

 то     

8. Якщо  при , то   

9. Якщо  при , то

10. Якщо змінна величина  зростаюча при  і обмежена при , то вона має границю .

Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при  характеризується наступними означеннями й теоремами.

Нескінченно малі функції  і  називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо  дорівнює кінцевому числу .

Якщо , то  називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .

Якщо , то  і  називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .

Якщо  то  називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .

Теореми про еквівалентні нескінчено малі

1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.

2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.

Якщо  при , то справедливі такі еквівалентності:

1.              2.

3.          4.

5.              6.

7.        8.

При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:

 — перша важлива границя;

;  — друга важлива границя,

де е — ірраціональне число, е = 2,718281...

Наслідки з важливих границь

1.      2.

3.          4.

5.         6.

Розкриття невизначеностей

Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду  то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.

Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.

Невизначеність виду

Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.

Приклад 1. Знайти границю:

а) .

б) .

в) .

г)

Невизначеність виду

Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .

Приклад 3. Обчислити:

а) .

б)

Приклад 4. Знайти границі:

Розв’язання. Безпосередня підстановка числа  під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :

Невизначеність виду

Невизначеність виду  перетвореннями приводиться до виду  та .

Приклад 5.

а)

б)

Невизначеність виду

Невизначеність виду  розкривається за допомогою другої стандартної границі.

Приклад 6.

а)

б)

в)

Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:

а) .

б) .

.


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 20;