Дослідження функції за допомогою похідних

Монотонність функції. Екстремум функції

Припустимо, щофункція визначена на деякому проміжку (а; b), а є внутрішньою точкою цього проміжку.

Функція називається зростаючою в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для всіх і для всіх .

Якщо функція диференційовна на інтервалі (а; b) і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі (а; b) невід’ємна, тобто .

Якщо функція диференційована на інтервалі (а; b) і ії похідна для , то ця функція зростає (спадає) на інтервалі (а; b).

Функція називається спадною в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для будь якого і для будь якого .

Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою максимуму функції , а саме число називається максимумом функції в точці .

Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою мінімуму функції , а саме число називається мінімумом функції в точці .

Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками, а максимум і мінімум називають екстремумом функції.

Приклад 1. Довести, що функція є зростаючою в інтервалі .

Розв’язання. Знаходимо похідну функції :

У кожній точці маємо

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція є зростаючою в кожній точці даного інтервалу.

Приклад 2. Довести, що показникова функція , , , в інтервалі при є спадною, а при — зростаючою.

Розв’язання. Знаходимо похідну функції :

Внаслідок того, що при , то

Отже, при функція є спадною.

Якщо , то і тому . Таким чином, у цьому випадку є зростаючою.

Приклад 3. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

Розв’язання. Знаходимо похідну:

При будь якому маємо .

Отже, функція на всій числовій осі є зростаючою.

Приклад 4. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

Розв’язання. Знаходимо похідну:

При маємо , при маємо .

Отже, в інтервалі функція спадає, а в інтервалі зростає.

При цьому точка є точкою мінімуму заданої функції.

Приклад 5. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

Розв’язання. Знайдемо похідну:

Знайдемо точки, в яких . Це є всі точки, де . Розв’яжемо цю нерівність:

або .

Отже, в інтервалі функція зростає. Тоді в інтервалах , функція спадає.

Робимо висновок, що точка є точкою є точкою мінімуму, а точка — точкою максимуму заданої функції, при цьому мінімум функції дорівнює , максимум .

Необхідна ознака існування екстремуму

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці . Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними точками функції.

Перше правило дослідження функції на екстремум

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв’язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;

2) знайти точки, в яких похідна не існує (функція в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:

3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Якщо при переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкою максимуму. Якщо змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.

Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.

Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 181; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!