Некоторые следствия из аксиом.
1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямых, прямой и плоскости
Параллельные прямые в пространстве
Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых а и b обозначается так: а || b. На рисунке 10 прямые а и b параллельны, а прямые а и с, а и d не параллельны.
Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
На рисунке 12 отрезки С D и Е F параллельны (СВ || Е F), а отрезки АВ и С D не параллельны, отрезок АВ параллелен прямой а (АВ || а).
Параллельность трех прямых
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Параллельность прямой и плоскости
Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно аксиоме А2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются;
|
|
|
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Определение
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: а || α. Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода — они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка — эта линия параллельна плоскости пола (рис. 15, а). Заметим, что в плоскости пола имеется
прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной.
На рисунке 15, а указанные прямые обозначены буквами а и b. Оказывается, что если в плоскости а имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 15, б).
Теорема
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Следствия:
1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
|
|
|
2 . Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Взаимное расположение прямых в пространстве .
Угол между двумя прямыми.
Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т. е. не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.
Определение
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (рис. 19).
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!