Признак перпендикулярности двух плоскостей

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 25Следующая ⇒

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 61, а). Если один из этих двугранных углов равен φ, то другие три угла равны соответственно 180°-φ, φ и 180°-φ. В частности, если один из углов прямой (φ = 90°), то и остальные три угла прямые. Если φ — тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен φ. Очевидно, 0°<φ≤90°.

Определение

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90° .

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты.

Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые.

Теорема (признак перпендикулярности плоскостей).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 63)

Контрольные вопросы

1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?

3. Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?

4. Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли, что эта прямая:

А) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости а;

Б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости а;

В) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а?

5. Прямая а параллельна плоскости а. Сколько прямых, лежащих в плоскости а, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости а?

6. Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хоть одна прямая, параллельная а?

7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

8. Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

10. могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?

11. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость трапеции?

12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость параллелограмма?

13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключённые между параллельными плоскостями?

14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

15. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань – прямоугольник; б) только две смежные грани – ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых граней не равно числу всех тупых углов граней?

16. Какие многоугольники могут получиться в сечении:

а)тетраэдра; б)параллелепипеда?

17.Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

18.Параллельные прямые b и с лежат в плоскости а, а прямая а перпендикулярна к прямой b. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость а?

19.Прямая а перпендикулярна к плоскости а, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

20.Прямая а параллельна к плоскости а, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаимно перпендикулярны?

21.Прямая а параллельна плоскости а, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и b?

22.Вероно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

23.Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

24.Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

25.Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

26.Сколько двухгранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

Контрольные задания

1. Катеты прямоугольного треугольника 14дм и 48дм. Перпендикуляр к плоскости треугольника, восстановленный из вершины прямого угла, равен 60дм.

Найти расстояние от концов перпендикуляра до центра окружности, описанной около данного треугольника.

2. Из точки взятой вне плоскости, проведены к плоскости α перпендикуляр и наклонные. Одна из наклонных равна 12см и образует с перпендикуляром угол в 60º.

Найти проекции этих наклонных, если вторая наклонная имеет длину 10см.

3. К плоскости правильного треугольника АВС в его центре О восстановлен перпендикуляр ОМ, равный 8см.

Найти расстояние точки М от вершин и сторон треугольника, если площадь его равна 27√3см².

Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.

Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить все задания из предложенного варианта, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.

Самостоятельная работа № 9

«Геометрические тела и их поверхности. Объёмы геометрических тел

(Многогранники)»

Цели:

¾ формирование навыков построения чертежей пространственных фигур на плоскости;

¾ формирование навыков записи краткого условия задачи математическими символами;

¾ формирование навыков решения задач

Многогранники

Призма

Призмой называется многогранник, две грани которого произвольные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммы.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.

Прямая призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник.

Параллелепипедом называется призма, все грани которой – параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.

Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если в основании прямоугольник.

S_б= P_oH - площадь боковой поверхности призмы

S_п= P_oH + 2 S_o - площадь полной поверхности призмы

V= S_o H – объём призмы

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого произвольный многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и высота падает в центр основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

S_б= 1/2 P_oH_б - площадь боковой поверхности правильной пирамиды

S_п= S_б + S_o - площадь полной поверхности пирамиды

V= 1/3 S_o H – объём пирамиды

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды, заключённая между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

Усечённая пирамида называется правильной, если в основаниях

правильные многоугольники, а высота соединяет центры оснований.

Высота боковой грани правильной усечённой пирамиды называется

апофемой.

S_б= 1/2( P_н. _o+Р_в.о) H_б - площадь боковой поверхности правильной

Усечённой пирамиды

S_п= S_б + S_н. _o + S_в. _o - площадь полной поверхности усечённой пирамиды

V= 1/3 H( S_н. _o + S_н. _o S_в. _o + S_в. _o) – объём усечённой пирамиды.

Примеры решения задач

1.Прямоугольный треугольник с катетами 12см и 16см. Найдите расстояние от точки, до плоскости треугольника, если расстояния от этой точки до каждой вершины треугольника равны 26 см.

Дано:

АВС-прямоугольный, |AC|=16см, |BC|=12см. |SA|=|SB|=|SC|=26см Построение:

Т.к. |SA|=|SB|=|SC|, то

(по двум катетам). Значит, |AO|=|OB|=|OC|, т.е О-центр описанной окружности около

ABC, а т.к.

ABC-прямоугольный, то точка О-середина отрезка АВ. Найти: |SO|

Решение:

Рассмотрим АВС. По теореме Пифагора |AB|=

Рассмотрим SOA-прямоугольный, т.к. SO (ABC), по теореме Пифагора

|SO|=

Ответ: |SO|=24 см.

2.В прямом параллелепипеде стороны основания равны см и 5см и образуют угол в , меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см.

Найдите длину бокового ребра параллелепипеда.

B₁ C₁

A₁ D₁ B C A D

Дано:

- прямой параллелепипед . |AB|=

см., |AD|=5 см.,

BAD=

; |

D|=7 см. Найти. |B

Решение:

Рассмотрим треугольник ABD.

По теореме косинусов:

Рассмотрим треугольник BD- прямоугольный;

Т.к. параллелепипед прямой то по теореме Пифагора:

Ответ: | | = 6 см.

3.Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 39 см, 17 см, 28см, боковые рёбра равны каждое 22,9 см.

Найдите высоту пирамиды.

Дано: SABC-пирамида, |AB|=39 см, |BC|=17 cм, |AC|=28 см, |SA|=|SB|=|SC|=22,9 см. Построение:

Т.к. |SA|=|SB|=|SC| то, О-центр описанной около

АВС окружности. Найти |SO|.

Решение:

Рассмотрим АВС. Найдём площадь этого треугольника по формуле Герона:

Рассмотрим SOA-прямоугольный, т.к. .

Ответ. |SO| = 6 см.

4.В прямом параллелепипеде стороны основания равны 1 м и 2 м и образуют угол в 60⁰. Большая диагональ параллелепипеда равна 4 м. Найдите объем и боковую поверхность параллелепипеда.

Решение: V = S_oh; S_бок= Р_оснh S_o=

= 2

(м²) По теореме косинусов:

² =

² +

² – 2

cos120⁰ = 2² + 1² – 2

) = 7 (м²) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. По теореме Пифагора:

(м). V =

3 = 3

(м³). S_бок= (2+1)

3 = 18 (м²). Ответ. V = 3

(м³), S_бок= 18 (м²).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед

. Найти: V, S_бок

Контрольные вопросы

Дайте определение многогранника.
Сформулируйте определение призмы.
Сформулируйте определение параллелепипеда.
Сформулируйте определение пирамиды.
Сформулируйте определение правильной пирамиды.
Сформулируйте определения элементов пирамиды.
Сформулируйте определение усечённой пирамиды.

Контрольные задачи

1. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 м и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD=35 м. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

2. Стороны треугольника 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Определить расстояние от его концов до большей стороны

3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 2 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰, а между собой угол в 60⁰. Найти расстояние между концами наклонных

4. Стороны треугольника равны 17, 15 и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ, перпендикулярная к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если длина отрезка АМ равна 20 см.

5. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 3 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰и 30⁰, а между собой прямой угол. Найти расстояние между концами наклонных.

6. Из точки K, удаленной от плоскости на 9 см, проведены к плоскости две наклонные KL и KM, образующие с плоскостью углы в 45⁰и 30⁰соответственно, а между собой прямой угол. Найти длину отрезка LM.

7. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 20 см проведен перпендикуляр длиной 16 см к плоскости треугольника. Найти расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

8. Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины большего угла треугольника восстановлен к его плоскости перпендикуляр, равный 16 см. Найти расстояние от его концов до большей стороны.

9. Стороны треугольника равны 51, 30 и 27 см. Из вершины меньшего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный 10 см. Найти расстояние от его концов до противоположной стороны треугольника.

10. В треугольнике АВС длина отрезка АВ равна 13 см, длина отрезка ВС равна 14 см, длина отрезка АС равна 15 см. Из вершины А восстановлен к плоскости треугольника перпендикуляр AD, равный 5 см. Найти расстояние от точки D до стороны ВС.

11. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3см и 5см и образуют угол в 60^◦. Площадь большого диагонального сечения равна 63 см². Найдите боковое ребро параллелепипеда.

12. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 15 см и 20 см, каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60^◦. Найдите высоту пирамиды.

13. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 15 см и 20 см, каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45^◦. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

14. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 3 см, 25 см и 26 см, а площадь большей боковой грани равна 260 см². Найдите боковое ребро призмы.

15. Основание пирамиды – треугольник со сторонами, равными 6 см, 10 см и 14 см. каждый двугранный угол при основании равен 30⁰. Найдите высоту пирамиды.

16. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 дм и 8 дм, угол между ними 60⁰. Зная, что большая диагональ параллелепипеда равна 49 дм, найдите боковую поверхность и объем параллелепипеда.

17. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 15 см и 20 см, каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60⁰. Найдите полную поверхность пирамиды и объем.

18. Стороны прямого параллелепипеда равны 5см и см, образуют угол 45^◦ . Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

19. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, основание которого 12см и высота 18см. каждое из боковых ребер равно 26см. найдите высоту пирамиды.

20. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами, равными 6 см, 10 см, 14 см. Каждый двугранный угол при основании равен 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой пирамиды.

21. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами, равными 6 см, 10 см, 14 см. Каждый двугранный угол при основании равен 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой пирамиды.

22. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 дм, а боковая сторона 10 дм. Все боковые грани образуют с основанием углы 45⁰. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

23. Основанием пирамиды DABC служит треугольник со сторонами AB=AC=13см, BC=10см, ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите высоту грани DBC.

24. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см, а высота 9 см, боковые ребра равны между собой и каждое содержит 13 см. Найдите объем пирамиды.

25. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные углы по 45^◦ . Найдите высоту пирамиды.

26. Стороны прямого параллелепипеда равны 5 см и 2 см, образуют угол 45⁰, меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

27. Стороны прямого параллелепипеда равны 5 см и 2 см, образуют угол 45⁰, меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

28. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объем пирамиды.

29. Боковое ребро и апофема правильной треугольной пирамиды соответственно равны 10 см и 6 см. Найдите стороны основания этой пирамиды.

30. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 16 м и 4 м. Найдите площадь полной поверхности и объем, если высота пирамиды равна 8 м.

31. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45⁰. Найдите высоту пирамиды.

32. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 30⁰. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.

Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить не менее 25 задач из предложенных, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.

Самостоятельная работа № 10

«Геометрические тела и их поверхности. Объёмы геометрических тел

(Круглые тела)»

Цели:

¾ формирование навыков построения чертежей пространственных фигур на плоскости;

¾ формирование навыков записи краткого условия задачи математическими символами;

¾ формирование навыков решения задач

Цилиндр

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 20 21 222324 25 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!