Определение уравновешивающей силы при помощи теоремы

Н.Е. Жуковского о жестком рычаге

Уравновешивающую силу F_у можно определить, не прибегая к построению планов сил, пользуясь теоремой Жуковского о жестком рычаге. Эта теорема формулируется следующим образом: если все силы, действующие на движущиеся звенья механизма, в том числе и уравновешивающую силу, приложить в соответствующих точках повернутого на 90 ^о плана скоростей, то сумма моментов всех сил относительно полюса плана скоростей равна нулю.

Пример определения уравновешивающей силы методом

Н.Е. Жуковского

Для кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 6.16, требуется определить уравновешивающую силу Р_у, приложенную в точке K зубчатого колеса, жестко связанного с кривошипом ОА.

 Известны длины звеньев механизма, веса G₂ , G₃ , силы инерции F_И2, F_И3 звеньев, главный момент сил инерции шатуна АВ и сила F₃полезного сопротивления, приложенная к ползуну В. Центр масс кривошипа ОА расположен в точке О.

Рис.6.16. Кинематическая схема механизма

 

Решение

Главный момент сил инерции M _И2 шатуна заменим парой сил F _МИ2, приложенных в  точках А и В.

F _МИ2 = М_И2 / l_AB .

 Переносим все силы с плана механизма, включая F _у, в соответствующие точки плана скоростей, предварительно повернув их на 90º по направлению движения часовой стрелки (рис. 6.17).

Рис. 6.17. Жесткий рычаг Н.Е. Жуковского

Из уравнения моментов относительно полюса О _V плана скоростей

∑M_Оv = – F _у ∙ h _у + F₃∙h₄ – G₂∙ h₁+ F_MИ2∙h₄ – F_И2∙h₂ = 0

определяем уравновешивающую силу

F _у = (F₃∙h₄ – G₂∙ h₁+ F_MИ2∙h₄ – F_И2∙h₂) / h _у.

Если при решении этого уравнения F_у получится со знаком плюс, то направление силы F_у на плане механизма выбрано верно. Если со знаком минус, то выбранное направление уравновешивающей силы следует изменить на обратное.

 

6.1. Последовательность выполнения 2-го листа проекта «Силовой расчет механизма»

Силовой расчет рекомендуется выполнять в такой последовательности.

1. Вычертить в масштабе план механизма в рассматриваемом положении, а также по отдельности все группы Ассура и механизм 1-го класса.

Построение желательно вести для рабочего положения механизма, в котором действуют максимальные внешние силы и силы инерции. Перенести из 1-го листа проекта план скоростей и план ускорений для этого положения.

2. Построить в масштабе план скоростей и план ускорений для рассматриваемого положения механизма.

При этом использовать значения угловой скорости и углового ускорения, полученные в первом листе проекта. Определить угловые скорости и угловые ускорения всех звеньев механизма, а также линейные скорости и ускорения центров шарниров и центров тяжести всех звеньев.

3. Определить внешние силы, действующие на звенья в рассматриваемом положении механизма.

4. Определить главные векторы _{и i} , Н,сил инерции и главные моменты _{и i} , кг·м², сил инерции звеньев для заданного положения механизма.

Главные векторы _{и i} сил инерции звеньев прикладываются к центрам масс звеньев

_{и i} = − m_{i   Si} , Н;           _{и i} = − I_{S i i},

где _{и I} – главный вектор _{и i} сил инерции i-го звена; _{и i} – главный момент пар сил инерции i-го звена;   _Si – вектор ускорения центра массi -го звена,

_i − вектор углового ускорения i-го звена.

5. На схемах групп Ассура и на начальном звене выполненных в масштабе, изобразить направления векторов всех активных сил и сил инерции, а также моментов инерции, и указать направления угловых ускорений ε _iзвеньев.  К свободным элементам кинематических пар групп Ассура приложить составляющие реакций.

6. Для каждой группы Ассура составить алгебраические уравнения моментов сил и векторные уравнения суммы сил и решить их. Векторные уравнения решаются построением планов сил.

7. Определить полные реакции _{i j}  во всех кинематических парах, а также уравновешивающую силу  или уравновешивающий момент  , приложенный к кривошипу.

7. СИНТЕЗ  ЗУБЧАТОГО  МЕХАНИЗМА  И  ЭВОЛЬВЕНТНОГО  ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Частота вращения n₁ входного вала, как правило, равна частоте вращения вала двигателя. Если в задании на проект не приводится частота вращения двигателя, то она выбирается студентом следующего ряда.

n, м –1

3000

1500

1000

750

Для передачи вращательного движения в машинах от входного вала к выходному часто используются передаточные зубчатые механизмы. Передаточным отношением механизма от его входного вала 1 к выходному валу <вых> называют отношение угловых скоростей ω или частот n вращения этих валов:

u_1−вых = ω₁/ω _вых = n₁/n _вых .

Планетарные зубчатые механизмы по сравнению с другими обладают меньшим весом и габаритными размерами. В большинстве современных зубчатых механизмов используются зубчатые колеса с эвольвентным профилем зубьев. Проектированию указанных механизмов и зубчатых зацеплений посвящен данный раздел.

7.1. Проектирование зубчатого механизма

Выбор схемы планетарного редуктора

При выборе схемы редуктора следует стремиться к наиболее простой и технологичной схеме. Если требуется осуществить большое передаточное отношение, а габариты передачи должны быть минимальными, используют планетарные зубчатые передачи. Наибольшее применение получили планетарные передачи, указанные в табл. 7.1.

 Для силовых передач применяют схемы 1 и 2 из табл. 7.1. Редукторы по схемам 3 и 4 используются в приборах из-за малого КПД.

Эффективность планетарных редукторов возрастает с увеличением числа «K» сателлитов благодаря снижению нагрузки на каждый работающий зуб почти в K раз. Поэтому при проектировании редуктора в схему желательно вписать наибольшее число сателлитов.

Таблица 7.1. Основные кинематические схемы планетарных редукторов

№ схемы	Кинематическая схема.	Формула для расчета передаточного отношения  u	Рекомен-дуемый диапазон  u	КПД планетарной передачи (формула и численный диапазон)
1			3...9	η = 0,96 ... 0,98
2			7...27	η = 0,94 ... 0,97
3			30...1500	η = 0,2 ... 0,6
4			30...1500	η = 0,2 ... 0,5

В табл. 7.1 ψ – общий коэффициент потерь: ,

где ψ_ПГ – коэффициент потерь на трение в подшипниках и масляной ванне;

ψ_ПГ = 0,015 ... 0,03 ; (здесь N – количество центральных колес редуктора);

 ψ_Зi – коэффициент потерь в одном зубчатом зацеплении;

 ψ_Зi = 2,3 f [(1/z_1i) +(1/z_2i)];

z_1i , z_2i – числа зубьев колес i-го зацепления;

f –коэффициент трения в зацеплении f = 0,1... 0,06 .

Знак «+» применяют для внешнего зацепления, знак «–»– для внутреннего.

Пример 1

Дано: n_дв = 1500 об/мин; n_вых = 165 об/мин. Числа зубьев простой одноступенчатой передачи z₁ = 16; z₂ = 23.

Определить: общее передаточное число приводного механизма и выбрать схему планетарного редуктора для блок-схемы, показанной на рис. 7.1.

 

Рис. 7.1. Схема приводного механизма

Решение

Общее передаточное отношение механизма

׀ u_1−вых ׀ = ׀ n₁/n _вых׀ = 1500/165 = 9,09 = z₂ / z₁ ׀ u_пл ׀,

где  u_пл – передаточное отношение планетарного редуктора:

|u_пл| = | u_1−вых| z₁/z₂ = 9,09∙16 / 23 = 6,32.

По табл. 7.1 выбираем планетарный редуктор механизма по схеме 1, так как требуемое передаточное отношение |u_пл| = 6,32 попадает в рекомендуемый диапазон 3... 9.

Подбор чисел зубьев колёс планетарных передач

При подборе чисел зубьев колес и числа «K» сателлитов планетарного редуктора необходимо одновременно обеспечить следующие условия синтеза:

– обеспечение требуемого передаточного отношения.

Зависимости передаточных отношений от чисел зубьев колес для различных схем редукторов приведены в табл. 7.1.

u_1−Н = n₁/n _Н,

где n₁ – частота вращения подвижного центрального колеса 1, n _Н – частота вращения водила Н.

– Обеспечение условия соосности, т.е. совпадения осей вращения водила Н и центральных колес 1 и 3.

– Условие соседства должно гарантировать отсутствие касания сателлитов друг за друга при их вращении (в редукторе размещаются K сателлитов).

– Условие сборки позволяет при сборке редуктора обеспечить попадание оси сателлита на палец водила при одновременном вхождении зубьев в зацепление с центральными колесами.

Заметим, что названные условия должны быть выполнены совместно и точно (без округлений и приближений). Допускается только отклонение фактического передаточного отношения редуктора от требуемого. В курсовом проекте допустимую погрешность передаточного отношения следует принимать

Δu / u = ׀ (u_тр − u_ф ) / u_тр ׀ ≤ 0,03,

где u_тр − требуемое передаточное отношение; u_ф − фактическое передаточное отношение.

При проектировании редукторов необходимо обеспечить условие правильного зацепления, т.е. невозможность подрезания зубьев и их интерференции.Это условие выполняется для чисел зубьев колес, приведенных в табл. 7.2.

После подбора чисел зубьев колес планетарного редуктора определяется КПД передаточного механизма. При этом учитываются формулы табл. 7.1.

Синтез зубчатой передачи заканчивается вычерчиванием в масштабе на соответствующем листе проекта кинематической схемы механизма в двух проекциях. Радиусы начальных окружностей колес на этой схеме принимаются равными радиусам делительных окружностей, определяемым по формуле r_i = m z_i /2.

Таблица 7.2. Условие правильного зацепления в редукторах, указанных в табл. 7.1

Параметра	Обозначение	Величина
Число зубьев центрального колеса 1	z1	z1 min = 18 для схем № 1...3; z1 = 80...180 для схемы № 1
Число зубьев планетарных колес (сателлитов)	z2 min , z2’ min	18
Число зубьев центрального колеса 3	z3	80...180 для схем № 1...3; 17…40 для схемы № 4

 

Вблизи схемы механизма на чертежном листе помещается таблица, в которой указываются числа зубьев и частота вращения или угловая скорость колес.

Проектирование планетарного редуктора по схеме 1 (табл. 7.1)

Условие обеспечения заданного передаточного отношения:

                             u_{1 −H} = 1 + (z₃/ z₁);                               (7.1)

условие соосности:  z₂ = 0,5(z₃ – z₁);                                   (7.2)

условие соседства:  sin(180⁰/K) > (z₂ + z₃)/(z₃ – z₂);           (7.3)

условие сборки:      (z₁ + z₃ ) / K = Ц ,                            (7.4)

где Ц − целое число; K − число сателлитов.

Максимальное количество сателлитов, которое можно установить в планетарном редукторе из условия соседства определяется по формуле

K_max < 180⁰ / arcsin {[( u_{1 −H} −2) z₁ + 4] (z₁ ∙ u_{1 −H}) ⁻¹}.     (7.5)

Условиями синтеза (7.1)...(7.4) определяется следующее соотношение между числами z зубьев колес и количеством K сателлитов.

z₁ / z₂ / z₃ / Ц = 1/ 0,5 (u_{1 −H} −2) / (u_{1 −H} −1) / (u_{1 −H} / K) .           (7.6)

При этом z₁, z₂, z₃,Ц – целые числа. Нумерация зубчатых колес соответствует схеме 1 (табл. 7.1).

Пример 2

Подобрать числа зубьев и количество сателлитов планетарного редуктора, схема которого представлена на рис. 7. 2, при u_1-H  = 6,3 и определить КПД редуктора.

 

 

Рис. 7.2. Кинематическая схема планетарного редуктора

Решение

Предварительно задавшись z₁ = 20 из условия правильного зацепления,определим максимальное число K_max сателлитов

K_max < 180⁰ / arcsin {[( u_{1 −H} −2) z₁ + 4] (z₁ u_{1 −H}) ⁻¹} =

= 180⁰ / arcsin {[(6,3 −2) 20 + 4] (20 ∙ 6,3) ⁻¹} = 3,91.

Округлим K_max до ближайшего целого меньшего числа. Итак, максимально возможное число сателлитов K = 3.

Определим число зубьев при количестве сателлитов K = 3 и передаточном отношении редуктора u_{1 −H}  = 6,3.

Из соотношения (7.6) имеем

z₁ / z₂ / z₃ / Ц = 1/ 0,5 (u_{1 −H} −2) / (u_{1 −H} −1) / (u_{1 −H} / K) =

= 1/ 0,5 (6,3 −2) / (6,3 −1) / (6,3/ 3) = 20 / 43 / 106 / 42 .

Итак, z₁= 20; z₂= 43; z₃= 106; K = 3.

Эти величины чисел зубьев удовлетворяют условию правильного зацепления и минимальных габаритов.

Проверка полученного решения на выполнение условий синтеза планетарного редуктора производится по формулам (7.1)... (7.4).

Условие обеспечения требуемого передаточного отношения

u_{1-H ф} = 1 + (z₃ / z₁) = 1 + 106 / 20 = 6,3 – удовлетворяется.

Условие соосности

 

z₂= 0,5(z₃− z₁) = 0,5 (106 – 20) = 43 – удовлетворяется.

Условие соседства sin(180⁰/K) > (z₂ + 2)/(z₃ − z₂),

sin (180⁰/ 3) = 0,866 > (43 + 2) /(106 −43) = 0,714 – удовлетворяется.

Условие сборки (z₁+ z₃) /K = (20 +106) /3 = 42 – целое – удовлетворяется.

Вывод: выбранные числа зубьев и количество сателлитов удовлетворяют всем условиям синтеза.

 Коэффициент полезного действия редуктора найдем по формуле

(табл. 7.1)     h_1-н = 1 − (z₃ y) / (z₃ + z₁) ,   

где h_1н – КПД редуктора при ведущем колесе 1 и ведомом водиле Н;

y − суммарный коэффициент потерь y = y _ПГ + y₃₁ + y₃₂ ;

y_ПГ – коэффициент потерь на трение в подшипниках качения и гидравлических потерь в масляной ванне:  

y_ПГ = 0,015... 0,03. Примем y_ПГ = 0,02;

y₃₁ и y₃₂ – коэффициенты потерь на трение в зубчатых зацеплениях,

y_{3 i} =2,3 f [(1/ z_1i) ± (1/ z_2i )],

здесь f − коэффициент трения в зацеплении.

Для расчетов примем f = 0,08; z_1i и z_2i – соответственно число зубьев шестерни и колеса в i -м зацеплении.

Знак <+> ставят при расчете  потерь во внешнем зацеплении, знак <–> ставят во внутреннем зацеплении.

Таким образом, имеем:

y = 0,02 + 2,3·0,08 (1/z₁+ 1/z₂) + 2,3·0,08( 1/z₂ – 1/z₃ )=

= 0,02 + 2,3∙0,08∙[(1/20)+(1/43)] + 2,3·0,08∙[(1/43) – (1/106)] = 0,036.

КПД планетарного редуктора в соответствии равен

h_1-н = 1 − (106∙0,036) / (106 + 20) = 0,97.

Ответ:h = 0,97; z₁ = 20; z₂ = 43; z₃ = 106; K = 3; U_1-н = 6,3.

Проектирование планетарного редуктора по схеме 2 (табл.7.1)

 

 

Рис. 7.3. Кинематическая схема зубчатого механизма

Условия синтеза рассматриваемого механизма

Примем модули всех зубчатых колес редуктора одинаковыми, а колеса нулевыми, т.е. нарезанными без смещения.

Условие обеспечения требуемого передаточного отношения:

u_1-Н = 1+ (z₂ z₃) / (z₁ z₂’) ;

условие соседства: 

sin(180⁰/K) > (z₂ + 2)/(z₁ + z₂) и sin(180⁰/K) > (z₂’ + 2)/(z₃– z₂’);

условие сборки:

[ z₃ – (z₁ z₂’) / z₂ ] / K = Ц – целое;

условие соосности:

z₁ + z₂ = z₃ – z₂'.

Из условия соседства получим

K_max = 180⁰/arcsin [(|u_1-2| +2/z₁)/(1+|u_1-2|)].

В первом приближении примем u_1-2 ≈ |u_1-H|^0,5 – 1.

Из условий синтеза определяется следующее соотношение между числами зубьев колес редуктора:

z₁ /z₂ /z₂^' /z₃ / Ц =

= 1/(e – 1)/[e (e – 1)/(u_1-H – e)] / [e(u_1-H – 1)/(u_1-H – e)]/{e(u_1-H – 2)/[K(u_1-H – e)]}. (7.7)

Величина e определяется из неравенства

е ≤ (1+2/z_2min) / [1 − sin(180^o/K)+(2/z_2min)]

и округляется в сторону уменьшения до простой дроби.

Пример 3

Подобрать числа зубьев и число K сателлитов планетарного редуктора по схеме 2, табл. 6.1 (рис. 7.3) при u_1-H = 15.

Решение

В соответствии с условием правильного зацепленияпринимаем

z_2min = 20; z₁ = 20:

u_1-2 ≈ |u_1-H|^0,5 – 1 = 15^0,5 – 1 = 2,87;

K_max = 180⁰/arcsin [(|u_1-2| +2/z₁)/(1+|u_1-2|)] =

= 180⁰/arcsin [2,87 + (2/20))/(1+2,87)] = 180⁰ / 50,14⁰ = 3,59.

Принимаем число сателлитов K = 3.

Определим величину e из неравенства

e ≤ (1+ 2/z_2min) / [1− sin(180^o/K )+(2/ z_2min)] =

= (1+2/20) [1+( 2/20) − sin(180^o/3)] = 4,7.

Принимаем e = 4.

В соответствии с формулой (7.7) составим соотношение чисел зубьев колес:

z₁ /z₂ /z₂^' /z₃ / Ц =

= 1/(e – 1)/[e (e – 1)/(u_1-H – e)] / [e(u_1-H – 1)/(u_1-H – e)]/{e(u_1-H – 2)/[K(u_1-H – e)]}=

= 1/(4 –1)/[4∙(4–1)/(15– 4)] / [4(15– 1)/(15–4)]/{4(15– 2)/[3(15 – 4)]} =

= 1/3/(12/11)/(56/11)/(52/33) = 33 / 99/ 36 / 168 / 52.

Итак, K = 3; z₁ = 33; z₂ = 99; z₂¢ = 36; z₃ = 168.

Проверка условий синтеза планетарного редуктора

Указанные числа зубьев удовлетворяют условию правильного зацепления, (см. табл. 7.2) .

Условие обеспечения передаточного отношения

u_1H = 1 + (z₂ z₃ / z₁ z₂′ ) = 1 + (99∙ 168 / 33∙36) = 15 – удовлетворяется.

Условие соосности

 z₁+ z₂ = z₃ – z₃¢; 33+99=168 – 36 – удовлетворяется.

Условие соседства

sin(180⁰/K) > (z₂ + 2)/(z₁ + z₂) и sin(180⁰/K) > (z₂’ + 2)/(z₃– z₂’);

 sin(180⁰/3) > (99+ 2)/(33 +99), т.е 0,866 > 0,765 и

 sin(180⁰/3) > (36 + 2)/(168 – 36), т.е 0,866 > 0,288 – удовлетворяется.

Условие сборки

 [ z₃ – (z₁ z₂’) / z₂ ] / K = Ц, где Ц – целое число,

[ 168 – (33∙ 36) / 99] / 3 = 52, т.е. условие сборки удовлетворяется.

Вывод: выбранные числа зубьев и число сателлитов удовлетворяют всем условиям синтеза.

Коэффициент потерь на трение в подшипниках и масляной ванне планетарного редуктора равен

y = y_ПГ + y₃₁ + y₃₂ = 0,03 + 2,3 f (z₁^{– 1} + z₂^{– 1}) + 2,3 f ( z_2΄^{– 1} – z₃^{– 1} ).

Принимая коэффициент трения f = 0,08 и подставляя в формулу численные значения, получим

y = 0,03 + 2,3 ∙ 0,08 (33 ^{– 1} + 99 ^{– 1}) + 2,3∙ 0,08 ( 36 ^{– 1} – 168 ^{– 1} ) = 0,0414.

Коэффициент полезного действия редуктора найдем по формуле (см. табл. 7.1, схема 2)

η_1–Н = 1 – [(z₂ z₃ y)/( z₂ z₃ – z₁ z₂’)] =

= 1– [(99∙ 168∙ 0,0414)/(99∙ 168 – 33∙ 36)] = 0,954.

Ответ: z₁= 33; z₂= 99; z₂′= 36; z₃= 168; K= 3; u_1Н= 15. h_1Н= 0,954.

На листе изображается в масштабе кинематическая схема спроектированной передачи, включающая последовательно соединенные планетарный и рядный механизмы. Модуль рядной передачи m_р определен в задании на проект. Если в проектном задании модуль m_пл зацеплений планетарной передачи не указан, то следует принять его равным m_пл  ≈ 0,5∙ m_р

Делительные диаметры зубчатых колес определяются по формуле:

d  = m ∙ z , мм.

7.2. Геометрический синтез зубчатого эвольвентного зацепления

В настоящем разделе производится расчет геометрических и качественных параметров и построение профилей зубьев пары цилиндрических эвольвентных прямозубых колес при неравносмещенном зацеплении. Параметры инструментальной рейки: a = 20⁰; h_a * = 1; с* = 0,25. Если в задании используются конические зубчатые колеса, то расчет и построение проводят для цилиндрических колес с приведенными числами зубьев.

---

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 639; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!