Зависимость между эквивалентными сложными учетными
ставками dc (%) и ставками ссудных процентов ic (%)
| dc (%) | Ic (%) | dc (%) | Ic (%) |
| 5 % | 5,26 % | 50 % | 100 % |
| 6 % | 6,4 % | 60 % | 150 % |
| 8 % | 8,7 % | 70 % | 233 % |
| 10 % | 11 % | 80 % | 400 % |
| 20 % | 25 % | 85 % | 567 % |
| 30 % | 43 % | 90 % | 900 % |
| 40 % | 66,7 % | 95 % | 1900 % |
| 45 % | 82 % | 99 % | 9900 % |
Можно определить также процентную ставку, эквивалентную данной, когда начальные условия полностью или частично не совпадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если есть возможность выбора между различными коммерческими предложениями.
Рассмотрим следующую задачу.
Какова должна быть сложная учетная ставка dc, чтобы сумма P1, вложенная под эту ставку на n1 лет, достигла той же величины, что и сумма P2, вложенная под сложную ставку ссудного процента Ic на n2 лет?
Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:
P2 = (1+ Ic)n2 = P1 / (1 – dc)n1.
 |
Отсюда:
 |
Можно решить уравнение относительно I, тогда:
Аналогично зависимости можно получать для любых видов процентных ставок.
Принцип эквивалентности также используется при решении вопросов финансовой эквивалентности платежей.
Как определить, что выгоднее, заплатить сумму S1 через n1 лет или сумму S2 через n2 лет? Будем считать, что S1 < S2 и n1 < n2 (иначе задача имеет тривиальное решение).
В зависимости от размера процентной ставки (возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы S1и S2 имеют различные современные величины P1и P2:
|
|
|
P1 = S1 / (1+ Ic)ⁿ¹, P2 = S2 / (1 + Ic)ⁿ².
Очевидно, что для ic = 0, S1 = P1 и S2 = P2.
В этом случае выгоднее выплачивать меньшую сумму S1. Поскольку n1 < n2, для достаточно больших ic будет выполняться P1 > P2 (рис. 1.1). Тогда найдется i0, уравнивающая ставка, при которой современные величины обеих сумм совпадут.
P
P 2
P 1
I о I c
Рис. 1.1
То есть S1/ (1+ Io)ⁿ¹ = S2 / (1+Io)ⁿ²,
откуда Io = ⁿ²ⁿ¹√S2/S1 – 1.
Для всех ic < io предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком. Для ic > io – с большими. При ic = io финансовые результаты обеих операций эквивалентны.
Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов процентных ставок.
Учет инфляционного обесценения денег в принятии финансовых решений
Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты (т. е. Снижением ее покупательской способности) и общим повышением цен в стране. Очевидно, что в различных случаях влияние инфляционного процесса сказывается неодинаково. Так, если кредитор (инвестор) теряет часть дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик может полу
|
|
|
чить возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательской способности.
Во избежание ошибок и потерь в условиях снижения покупательской способности денег рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовых операций и проведем несложные математические расчеты и преобразования.
Пусть Sа – сумма, покупательская способность которой с учетом инфляции равна покупательской способности суммы при отсутствии инфляции. Через ∆ S обозначим разницу между этими суммами.
Отношение ∆ S/S, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.
 |
При расчетах используют относительную величину уровня инфляции – темп инфляции а.
Тогда для определения Sа получаем следующее выражение:
Sa = S + ∆S = S + Sa = S (1+ a).
Величину (1 + а), показывающую, во сколько раз Sа больше S (т. е. Во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции Iи.
Iи = 1 + a.
Динамика индекса инфляции за несколько лет отражает изменения, происходящие в инфляционных процессах. Понятно, что повышение индекса инфляции за определенный период по сравнению с предыдущим таким же периодом указывает на ускорение инфляции, снижение – на уменьшение ее темпов.
|
|
|
Пусть а – годовой уровень инфляции. Это значит, что через год сумма S 'а будет больше суммы S в (1+ а) раз. По прошествии еще одного года сумма S''a будет больше суммы S'a в (1 + а) раз, т. е. Больше суммы S в (1 + а)² раз. Через n лет сумма Sⁿa вырастет по отношении к сумме S в (1+а)ⁿ раз. Отсюда видно, что инфляционный рост суммы S при годовом уровне инфляции а – то же самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов а.
Разумеется, те же рассуждения применяются, если вместо года берется любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т. д.).
Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфляции.
Если известен годовой уровень инфляции а, то за период в п лет (при том, что п= па+ пbи па – целое число лет, пb – оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит следующую величину:
Ιи = (1+a)ⁿa(1 + nba).
В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции аm за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий m таких интервалов, индекс инфляции будет равен
|
|
|
Ιи = (1+am)m.
Теперь можно приложить изложенные в предыдущих параграфах варианты начисления процентов к условиям инфляционной экономики.
Если в обычном случае первоначальная сумма Р при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S, то в условиях она должна превратиться в сумму S а, что требует уже иной процентной ставки.
Назовем ее ставкой процентов, учитывающей инфляцию.
Пусть
ia – ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;
da – учетная ставка, учитывающая инфляцию;
ja – номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;
fa – номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.
Зададим годовой уровень инфляции а и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфляции в сумму Sа, используем формулу S = P(1+ ni):
Sа = P(1+ i а).
Для данной суммы можно записать еще одно соотношение:
Sа = P(1+ I)(1 + а),
а затем составить уравнение эквивалентности:
(I + ia) = (I + I)(I + a),
из которого следует, что
ia = I + a + ia.
Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера, в которой сумма (а + i а) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.
Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период.
Для простых процентных ставок по формуле S = P(1+ n I) получаем:
Sa = P(1+n Ia).
В то же время должно выполняться равенство:
Sa = P(1+ ni)Iи.
Составим уравнение эквивалентности:
1+n ia = (1+ ni)Iи,
 |
из которого получаем:
 |
Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквивалентности будет иметь вид:
 |
Для случая сложных процентов используем формулу S = P(1+ Iс)n:
Sa = (1+ Ica)n
Sa = (1+ Ic)n Iи.
 |
Отсюда:
Если начисление процентов происходит несколько (m) раз в году, используем формулу Smn = P (1+ j/m)mn:
(1+ ja/m)mn = (1+ j/m)mn Iи.
Отсюда:
ja = m[(1+ j/m) mn√Iи – 1].
 |  |
Таким же образом получаем две формулы для случая сложных учетных ставок:
Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость I от Ia или любую другую. Например, из формулы
 |
 |
можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию:
Из формулы
 |
 |
получаем аналогичную формулу для случая сложных процентов:
 |
Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение (1+а)ⁿ, получим простую формулу:
отражающую несколько очевидных соображений:
если Ica = (доходность вложений и уровень инфляции равны), то Ic = 0, т. е. Весь доход поглощается инфляцией;
если Ica < a (доходность вложений ниже уровня инфляции), то Ic < 0, т. е. Операция приносит убыток;
если Ica > a (доходность вложений выше уровня инфляции), то Ic > 0, т. е. Происходит реальный прирост вложенного капитала.
Финансовые ренты
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется потоком платежей.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
· величиной каждого отдельного платежа;
· интервалом времени между последовательными платежами (период аннуитета);
· сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты);
· процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет), пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес, с практической точки зрения, представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
Р – величина каждого отдельного платежа;
ic – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
Sk – наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;
S – наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. Сумма всех платежей с процентами);
Ak – современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;
A – современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. Сумма современных величин всех платежей);
Sn – наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
An – современная величина аннуитета пренумерандо;
n – число платежей.
Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке ic (рис. 1.2).
| 0 | 1 | 2 | 3 | n-1 | n | |
| Р | Р | Р | Р | Р |
S n
S n – 1
S 3
S 2
S 1
S
Рис. 1.2. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо
Сумма S1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n – 1) раз, составит по формуле S = P(1+ I с)n:
S1 = P(1+ I с)n – 1.
Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем:
S2 = P(1+ I с)n – 2
и так далее. На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т. е.:
 |
тогда для общей наращенной суммы имеем:
где k I , n – коэффициент наращения аннуитета с параметрами I;
n – представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член а1 равен 1, а знаменатель (назовем его q) составляет (1+ I c).
 |
Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
запишем выражение
 |
в более удобном для вычислений виде:
Для коэффициента наращения, соответственно, имеем:
 |
Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 1.3).
| 0 | 1 | 2 | 3 | n – 1 | n | ||
| Р | Р | Р | Р | Р | |||
А1
А2
А3
Аn – 1
An
A
Рис. 1.3. Современная величина аннуитета постнумерандо
 |
При заданной процентной ставке Ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:
Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит:
 |
где а I, n – коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а1 = q = 1/ (1+ ic).
Тогда для а i , n получаем выражение:
 |
для современной величины А, соответственно,
 |  |
Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением:
 |
Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.
 |
Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем:
Для определения срока аннуитета (n), при прочих заданных условиях, получаем:
 |
Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.
Рассмотрим далее аннуитет пренумерандо с теми же начальными условиями (рис. 1.4).
| 0 | 1 | 2 | 3 | n – 1 | n | |
| Р
| Р | Р | Р | Р | Р |
S n
S 4
S 3
S 2
S1
S
Рис. 1.4. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. Каждая наращенная сумма Sк увеличивается в (1 + Ic) раз. Следовательно, для всей суммы
 |
Sn имеем:
 |
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо Кп I,n получаем следующее соотношение:
Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Ак будет больше в (1+I) раз. Таким образом,
А для коэффициента приведения ап I,n получаем:
 |
Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формуле:
 |
найти для заданных значений Sп и Aп соответствующие значения S и A и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.
Если срок аннуитета n неограничен, мы получаем случай вечного аннуитета.
 |  |
Для аннуитета постнумерандо выражение для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:
 |
Для аннуитета пренумерандо соответственно получаем:
 |
Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.
Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.
Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h, т. е. Являются членами арифметической прогрессии с первым членом а1 = Р и разностью h.
Т. е. Платежи представляют собой ряд:
Р, Р + h, Р + 2h,…Р + (n – 1)h.
 |
Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:
Умножим обе части данного равенства на (1 + I с) и вычтем первое выражение из полученного после умножения:
 |
Видно, что часть полученного равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где а1 = h (1+ Ic); q = (1 + Ic). После несложных преобразований получаем:
Найдем теперь современное значение аннуитета А:
 |
Умножим обе части равенства на (1+ Ic)n.
Как видим, в данном случае верна формула
 |
полученная ранее для обыкновенного аннуитета:
 |
Отсюда
Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. Являются членами геометрической прогрессии:
P , Pq , Pq2,…,Pqn-1.
Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем
 |
 |
В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а1 = (1 + Ic)n и знаменателем q/(1 + Ic). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:
Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу
 |
Практикум
Задача 1
Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.
Задача 2
Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Задача 3
Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30 %, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
Задача 4
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28 % годовых.
Задача 5
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.
Задача 6
Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.
Задача 7
Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20 %. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб.
Задача 8
Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25 % годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.
Задача 9
Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28 % годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.
Задача 10
Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25 % годовых.
Задача 11
Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24 % годовых.
Задача 12
За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увеличится до 200 000 000 руб., если:
а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28 % годовых;
б) проценты будут начисляться ежеквартально?
Задача 13
Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.
Задача 14
Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25 %.
Задача 15
Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20 % годовых.
Задача 16
Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, учетная ставка равна 18 %. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?
Задача 17
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка равна 24 % и начисление процентов происходит ежемесячно.
Задача 18
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 000 руб. на пять лет:
а) под простую ставку процентов 30 % годовых;
б) под сложную ставку в 25 % при ежеквартальном начислении?
Задача 19
Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 26 %, если начисление процентов происходит ежемесячно.
Задача 20
Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22 % годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 000 000 руб. через два года или 36 000 000 руб. через три года. Какой вариант предпочтительнее?
Задача 21
Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10 % годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15 % в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
Задача 22
Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12 %.
Задача 23
При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5 % годовых. Кредит выдается на полгода, за которые индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.
Задача 24
Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,9 % в месяц выдается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов 15 % годовых. Проценты начисляются ежеквартально.
Задача 25
Определить, какой реальной убыточностью обладает финансовая операция, если при уровне инфляции 14 % в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 8 % при ежемесячном начислении.
Задача 26
Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год – поступления 500 ам. Дол., второй год – поступления 200 ам. Дол., третий год – выплата 400 ам. Дол., далее в течение семи лет – доход по 500 ам. Дол. Ставка дисконтирования – 6 % годовых.
Задача 27
Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4 % годовых, в течение 10 лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000 ам. Дол. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500 ам. Дол. Определить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен.
Задача 28
Два аннуитета с параметрами:
1) величина платежа – 2 000 ам. Дол., процентная ставка – 5 % годовых, срок – 12 лет;
2) величина платежа – 3 500 ам. Дол., процентная ставка – 6 % годовых, срок – 10 лет.
Требуется заменить одним – со сроком 10 лет и процентной ставкой 6 % годовых.
Определить величину нового платежа.
Задача 29
Займ в размере 12 000 ам. Дол. Выдан под сложную процентную ставку 4 % годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 15 ам. Дол. Составить график погашения долга.
Задача 30
Долг в размере 10 000 ам. Дол. Требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года – 2 000 ам. Дол., 2 000 ам. Дол., 4 000 ам. Дол., 1 500 ам. Дол. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 55 годовых.
Задача 31
Депозитный сертификат номиналом 200 000 руб. выдан 14 мая с погашением 8 декабря под 18 % годовых. Определить сумму дохода при начислении точных и обыкновенных процентов и сумму погашения долгового обязательства.
Задача 32
Платежное обязательство выдано на три месяца под 25 % годовых с погашением по 20 000 000 руб. (год високосный). Определить доход владельца данного платежного обязательства.
Задача 33
Сертификат номинальной стоимостью 28 000 000 руб. выдан на 200 дней (год високосный) с погашением по 30 000 000 руб. Определить доходность сертификата в виде простой ставки ссудного процента.
Задача 34
Вексель выдан на сумму 10 000 000 руб. со сроком оплаты 21 июля. Владелец векселя получает его в банке 5 июля по учетной ставке 20 %. Определить доход банка и сумму, полученную по векселю (К = 365).
Задача 35
Облигация номиналом 10 000 руб., выпущенная на пять лет, приобретена по курсу 120. Рассчитать доход по облигации, если на нее ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 18 %.
Задача 36
В условиях примера 35 рассчитать доходность покупки облигации в виде эффективной ставки сложных процентов.
Задача 37
При выпуске акций номиналом в 5 000 руб. объявленная величина дивидендов равна 15 % годовых, а их стоимость, по оценкам, будет ежегодно возрастать на 4 % по отношению к номиналу. Определить ожидаемый доход от покупки по номиналу и последующей продажи через пять лет 100 таких акций.
Задача 38
В условиях примера 37 рассчитать доходность покупки акций в виде эффективной ставки сложных процентов.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 631; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!