Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 4
Задание
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x + y = 5.
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Сделать чертеж области D | 
|
| 2 | Найти стационарные точки, лежа-щие внутри D |  ; 
 ; 
Стационарная точка  лежит внутри области.
|
| 3 | Исследовать функцию на границе области. Подставить в функцию уравнение границы и найти наи-меньшее и наибольшее значения полученной функции одной пере-менной – параметра, к которому отнесены линии, ограничивающие область D | 1. На оси Ox:
 ,  ;
 ;
6x – 6 = 0, x = 1;
z(1,0) = 2;
на границах отрезка:
 .
 .
 .
2. На оси Oy:
x = 0, 
 ;  , y = 2
Вычисляем значения функции в стационарной точке y = 2 и на границах отрезка при y = 0 и y = 5:
 ,  ,  .
 ;
|
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
3. На отрезке прямой AB:
 ,
 ;
 ;
 на рассматриваемом интервале, т.е. функция монотонна, а концы интервала x = 0 и x = 5 дают уже встречающиеся точки A(5, 0) и B(0, 5)
| ||
| 4 | Сравнить все вычисленные значе-ния функции в отдельных точках и найти среди них наименьшее и наибольшее, которые и будут соот-ветственно наименьшим и наиболь-шим значением функции в области D | Имеем:
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
Получаем:
наименьшее значение
 ;
наибольшее значение
|
Найдите самостоятельно наибольшее и наименьшее значения функций:
|
|
|
4.1. 
в круге 
.
4.2. 
в треугольнике, ограниченном прямыми 
.
4.3. 
в прямоугольнике, ограниченном прямыми 
.
Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 5
Задание
Для функции 
в точке 
найдите градиент и производную в направлении 
.
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Вычислить частные производные функции u = f(x, y, z) по переменным x, y, z в точке 
|  ,
 ,
|
| 2 | Вычислить градиент функции u = f(x, y, z) в точке по формуле:
 
| 
|
| 3 | Вычислить производную по направ-лению  в точке  :
 
 ;
направляющие косинусы  находятся по формуле:  ,  ,  ,
где  ,
 .
Примечание: В случае двух перемен-ных применяем аналогичные формулы:
 ,
 ,
где теперь  , ,  , 
|  ,
 ,  ,  ,
|
Найдите градиент скалярного поля:
5.1. 
в точке (1, 2, –3).
5.2. 
в точке (0, 0).
5.3. 
в точке (1, –1, 2).
Найдите производную:
5.4. Скалярного поля 
в точке (1, –2) в направлении вектора 
.
5.5. Функции 
в точке (–1, 1, –1) в направлении вектора 
.
5.6. Функции 
в точке (2, –2) в направлении ее градиента в этой точке.
Найдите наибольшую скорость возрастания функции:
|
|
|
5.7. 
при переходе через точку 
.
Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 6
Задание
Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к сфере 
в точке 
.
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Вычислить  ,  , и подста-вить в них координаты  заданной точки
| Подстановкой координат P0 в уравнение поверхности убеждаемся, что P0 лежит на сфере
 .
 ;
 ;
|
| 2 | Записать уравнение касательной плоскости:
 
| (–2)(x + 1) – 2(y + 1) + 2(z – 1) = 0, x – y + z – 6 = 0 |
| 3 | Записать уравнение нормали:
 
| 
|
Решите самостоятельно.
Дано уравнение поверхности F(x, y, z) = 0 и точка P0 на ней.
6.1. Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности в точке P0.
а) 
(эллипсоид), 
.
б) 
(эллиптический параболоид) в точке (1, 1, ?).
6.2. Напишите уравнения нормали к конусу 
в точке 
.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!