Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 1
Задание
Вычислите производные первых и вторых порядков функции 
.
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Вычислить первые производные:
а) считая y постоянным, дифференцируем функцию z = f(x, y) по переменному x – находим частную производную  по x;
б) частную производную по y –  находим аналогично, фиксируя x
|
а)  ;
б) 
|
| 2 | Вычислить вторые производные  и  :
а) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – получаем ;
б) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – получаем
|
а) 
 ;
б) 
|
| 3 | Вычислить смешанные производные:
а) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – находим  ;
б) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – находим  ;
в) сравнивая полученные производные, убеждаемся, что
=
| а) 
 ;
б) 
;
в) найденные производные равны
|
Вычислите самостоятельно частные производные первого и второго порядков следующих функций:
1.1. 
.
1.2. 
.
1.3. 
.
1.4. 
.
1.5. 
.
1.6. 
.
Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 2
Задание
Запишите уравнение касательной плоскости и найдите полный дифференциал функции 
в точке .
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Вычислить частные производные  ,  и 
|  
= 2(–1) = – 2;
  ;
z0 = –1
|
| 2 | Подставить полученные значения в уравнение касательной плоскости
 
| 
|
| 3 | Найти полный дифференциал
| 
|
Вычислите самостоятельно полный дифференциал следующих функций:
2.1. 
в точке 
.
2.2. 
в точке 
2.3. 
в точке 
Найдите уравнение касательной плоскости следующих функций:
2.4. 
в точке
2.5. 
в точке 
Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 3
Задание
Исследуйте на экстремум функцию 
.
Решение
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Найти область определения | 
|
| 2 | Найти частные производные  и 
|  ;
 ;
|
| 3 | Найти точки, в которых  и равны нулю или не существуют, т.е. критические точки (необходимое условие наличия экстремума)
| Частные производные всюду существуют.
Найдем точки, где они равны нулю:
Решив систему, получим координаты точек:
 ,  ,  , 
|
| 4 | Найти
 ,  , 
|  ;  ; 
|
| 5 | Вычислить значения частных про-изводных второго порядка в крити-ческих точках |  ;
 ;
 ;
|
| 6 | Использовать достаточное условие наличия экстремума. Составить
 
и вычислить его значения в крити-ческих точках
|  ;
 ;
 ;
|
| № п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 7 | Сделать вывод о наличии экстре-мума:
 – экстремум есть;
 – экстремума нет;
 – неопределенный случай
| В точках M0 , M1, M2 – экстремума нет; в точке M3 – экстремум есть |
| 8 | По знаку второй производной в точке M установить характер экстремума:
 – точка минимума;
 – точка максимума
| 
M3 – точка максимума
|
| 9 | Вычислить экстремальное значение функции | 
|
Исследуйте самостоятельно на экстремум следующие функции:
3.1. 
.
3.2. 
.
3.3. 
.
3.4. 
.
3.5. 
.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!