Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 7

Задание

Вычислите: а) площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и y = x;

б) объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ox.

Решение

Предварительно заполните таблицу, подобрав к алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Построить заданные линии и ограниченную ими фигуру
2	Определить, является ли данная фигура правильной областью относительно оси Oy (или оси Ox)	Находим точки пересечения параболы y = 2x – x² с прямой y = x, решая систему: Получаем две точки O(0, 0) и A(1, 1). Область является правильной относительно оси Oy:
3	а) Вычисление площади фигуры
	Вычислить площадь области D по формуле
	б) Вычисление объема тела вращения
	Вычислить объем тела вращения по формуле

Вычислите самостоятельно площади плоских фигур и объемы тел вращения с помощью определенного интеграла:

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³ и y = x, и объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ox.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , и x = 1.

3. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями и .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

5. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = sin2x и .

ГЛОССАРИЙ

№ п/п	Новое понятие	Содержание
1	2	3
1	Аддитивность определенного интеграла	свойство, состоящее в том, что для любой
2	Интегральная сумма Римана для функции f( x) на отрезке [ a, b]	сумма вида , где , , (i = 1,…, n)
3	Линейность определенного интеграла	свойство, состоящее в том, что для любых интегри-руемых на [a , b] функций f(x) и g(x) и постоянных l и m
4	Монотонность определенного интеграла	свойство, состоящее в том, что если на [a, b], то
5	Неопределенный интеграл от функции f( x)	совокупность всех первообразных функции f(x), обозна-чаемая символом
6	Несобственный интеграл от неограниченной функции	интеграл вида , который в случае, когда функция f(x) непрерывна во всех точках промежутка (a, b), а в точке b имеет бесконечный разрыв, равен , если предел существует и конечен
7	Определенный интеграл Римана от функции f( x) на отрезке [ a, b]	предел интегральных сумм при условии , обозначаемый
8	Оценка модуля интеграла	неравенство , выполняющееся для любой интегрируемой функции f(x)
9	Первообразная функции на промежутке (a, b)	такая функция, производная которой в каждой точке промежутка равна значению данной функции
10	Правильная рациональная дробь	дробь , где P(x) и Q(x) – многочлены, причем сте-пень многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x)
11	Простейшие рациональные дроби	дроби вида или , где ; n, m = 1, 2,…
12	Рациональная функция	многочлен P(x) или дробь , где P(x) и Q(x) – многочлены
1	2	3
13	Теорема о среднем	если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдется по крайней мере одна точка такая, что
14	Формула Ньютона–Лейбница	, где F(x) – первообразная функции f(x) на отрезке [a, b]
15	Формула длины дуги кривой в декартовых координатах	формула , справедливая для кривой вида y = f(x),
16	Формула замены переменной в определенном интеграле	, где f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а функция j(t) монотонна и непре-рывно дифференцируема на отрезке [a, b], причем j(a) = a, j(b) = b
17	Формула интегрирования по частям	, где u и v – дифференцируемые функции
18	Формула интегрирования тригонометрических выражений	, где R(.,.) – рациональная функция своих аргументов. (Наряду с универсальной подстановкой в некоторых случаях удобнее использовать подстановки t = sin x, t = cos x, и др.)
19	Формула объема тела вращения	формула , справедливая для тела, образо-ванного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапе-ции {a £ x £ b, 0 £ y £ f(x)}
20	Формула объема тела через площади параллельных сечений	, где S(x) – площадь сечения тела плоскостью x = const,
21	Формула площади криволинейного сектора в полярных координатах	, справедливая для области , называемой криволинейным сектором
22	Формула площади поверхности вращения	, справедливая для поверхности, образованной вращением графика функции f(x), , вокруг оси Ox
23	Формула площади правильной области в декартовых координатах	формула , справедливая для области