Длина дуги плоской кривой в декартовых координатах

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 16Следующая ⇒

Пусть дуга AB задана уравнением , где функция y(x) – непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке [a, b]. Тогда ее длина s вычисляется по формуле (длины дуги кривой в декартовых координатах)

. (3.6)

Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками и впишем в дугу AB ломаную , абсциссами вершин которой были бы точки деления
отрезка [a, b] (рис. 15). Пусть – периметр ломаной, – длина звена . Тогда . Положим , . По теореме Пифагора длина звена ломаной будет равна . Так как y(x) – дифференцируемая функция, то по теореме Лагранжа существует точка такая, что .
Тогда и . По условию производная непрерывна. Следовательно, функция непрерывна. При будет также . Поэтому существует конечный предел

Рис. 15

Тем самым доказана справедливость формулы (3.6).

Пример. Вычислить длину дуги параболы , .

Решение. Функция непрерывна на отрезке [0, 1], ее производная непрерывна на полуинтервале (0, 1] и . Поэтому для длины данной дуги параболы по формуле (3.6) получаем несобственный интеграл . Определение таких несобственных интегралов было рассмотрено в разделе 2.4.2. По формуле (2.14) вычислим

Имеем

Тогда

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями

Пусть дуга AB задана параметрическими уравнениями

, (*)

где x(t), y(t) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке и x(t) – монотонная функция. Тогда длина s дуги AB вычисляется по формуле

. (3.7)

Действительно, пусть сначала функция x(t) монотонно возрастает на отрезке . При сделанных предположениях относительно функций x(t) и y(t) уравнения (*) определяют дифференцируемую функцию y = f(x) и длина дуги может быть вычислена по формуле , где . Сделаем в этом интеграле замену переменной x = x(t). Учитывая, что и , получим

В случае, когда функция x(t) монотонно убывает на отрезке , будет выполняться неравенство a > b и длина дуги будет равна . Делая в интеграле замену переменной x = x(t) и учитывая, что теперь и , получим

Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы , отсеченной
прямой x = 1 (рис. 16).

Рис. 16

Решение. Длина s дуги AOB равна удвоенной длине дуги AO. Значение параметра t, соответствующее точке A пересечения параболы с прямой, найдем из системы уравнений . Получим . Аналогично t₀ = 0. Тогда

Замечание. Для длины s дуги пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t), ,
где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции, может быть получена формула .

Длина дуги кривой в полярных координатах

Пусть полюсом и полярной осью полярной системы координат являются начало координат O и ось x декартовой системы координат. Обозначим через – полярные координаты точки (x, y), так что .