Интегрирование рациональных функций

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 16Следующая ⇒

1. Рациональными функциями называются многочлены P(x) и рациональные дроби , представляющие собой отношение двух многочленов P(x) и Q(x). Приведем необходимые для дальнейшего сведения из алгебры о рациональных функциях. Доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в [5].

Пусть – многочлен степени n, где . Число a называется корнем или нулем многочлена , если .

Теорема Безу. Многочлен делится на x – a без остатка тогда и только тогда, когда число a является корнем многочлена .

Таким образом, . Корень a называется k-кратным, если , где . При k = 1 корень называется простым.

Будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами. Квадратный трехчлен , где p, q – действительные числа, при имеет действительные корни x₁, x₂ и, следовательно, разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами , а при имеет комплексно сопряженные корни , , где , и на линейные множители с действительными коэффициентами не разлагается. В курсе алгебры доказывается, что всякий отличный от константы многочлен с действительными коэффициентами произвольной степени разлагается на линейные или квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, деля числитель на знаменатель, представить в виде суммы многочлена, называемого целой частью дроби, и правильной рациональной дроби.

Например: .

Будем теперь рассматривать правильные рациональные дроби с действительными коэффи-циентами многочленов в числителе и знаменателе. Среди них назовем простейшими дроби вида:

1. ,

2. ,

где .

Теорема. Пусть – правильная рациональная дробь, у которой P(x) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами и разложение знаменателя Q(x) на линейные и квадратичные множители имеет вид

где , n – степень многочлена Q(x), .

Тогда дробь представима в виде суммы простейших дробей поправилу:

, (1.4)

где – действительные числа, называемые неопределенными коэффициентами.

Тождество (1.4) называется разложением дроби на простейшие. Неопределенные коэффи-циенты находятся однозначно.

Практическое правило нахождения неопределенных коэффициентов:

1. Умножаем равенство (1.4) на общий знаменатель всех дробей. Получим тождественное равенство двух многочленов.

2. Далее возможны два варианта.

Первый вариант основывается на том, что два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях равны. Поэтому, раскрывая скобки и приводя в правой части подобные члены, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях равенства. Получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить дробь на простейшие.

Решение. Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами:

Умножая это равенство на общий знаменатель , получим

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях этого равенства.

При .

Тогда и .

Второй вариант составления системы относительно неопределенных коэффициентов: не раскрывая скобок, даем аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопреде-ленных коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя. (Нужно при этом следить за тем, чтобы уравнения в системе были независимыми.)

Пример. Разложить дробь на простейшие.

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших с неопределенными коэффициентами

Умножая это равенство на общий знаменатель, получим

Будем давать x последовательно значения 1, 2, –3. Получим систему

5 = –4A, 7 = 5B, –3 = 20C,

откуда , , и

2. Перейдем к методам интегрирования простейших дробей. Для интеграла от дроби 1-го типа имеем:

Рассмотрим интеграл от дроби 2-го типа при k = 1:

где .

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена и преобра-зуем интеграл в сумму двух интегралов:

Замена переменной в первом интеграле приводит его к табличному интегралу (III). Второй интеграл после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата суммы и замены переменной преобразуется в табличный интеграл (X). В итоге получим

Интеграл , где и k > 1, после выделения в числителе произ-водной квадратного трехчлена представляют, как и выше, в виде суммы двух интегралов, один из которых заменой сводится к табличному интегралу (II), а второй интегрированием по частям сводится к рассмотренным выше интегралам.

Итак, интегралы от простейших рациональных дробей выражаются через элементарные функции. А так как всякая рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и простейших дробей, то интегралы от всякой рациональной функции выражаются через элемен-тарные функции.

Пример. Найти .