Основные свойства неопределенного интеграла

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 16Следующая ⇒

1. Так как операция интегрирования есть операция, обратная дифференцированию, то справедливы равенства:

; ;

; .

Справедливость следующих равенств легко установить дифференцированием их левых и правых частей.

2. .

3. ,

где k – постоянный множитель, отличный от нуля.

Всякая формула дифференцирования, прочитанная справа налево, порождает формулу интегрирования.

Таблица основных интегралов

Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, где подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях этих равенств C – произвольная постоянная.

Из таблиц производных следуют формулы:

I. .

II. , .

III. .

IV. .

V. .

VI. .

VII. .

VIII. .

IX. .

X. .

Следующие две формулы нетрудно проверить дифференцированием.

XI. .

XII. , .

Рассмотренные свойства и таблица интегралов позволяют уже находить интегралы от простейших функций.

Пример. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 2 и 3 и табличным интегралом (II). Получим

Заметим, что результат дифференцирования элементарных функций является снова элемен-тарной функцией, тогда как операция интегрирования элементарных функций может привести к новым функциям, которые не могут быть представлены в виде суперпозиций элементарных функций. Например, доказано, что следующие интегралы существуют, но не выражаются через элементарные функции:

– интеграл Пуассона,

– интегралы Френеля,

– интегральный логарифм,

– интегральный синус,

– интегральный косинус.

Перейдем к рассмотрению основных методов интегрирования.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Замена переменной

Пусть функция монотонна и имеет непрерывную производную на некотором проме-жутке изменения переменной t, функция f(x) непрерывна на интервале, принадлежащем области значений функции , так что определена сложная функция . Тогда справедливо равенство

, (1.2)

называемое формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Действительно, дифференцируя левую часть этого равенства по t по правилу дифферен-цирования сложной функции, получим

Отсюда следует, что левая часть равенства (1.2) является неопределенным интегралом по переменной t от функции , то есть совпадает с правой частью этого равенства. Формула (1.2) может быть записана и так:

где функция обратная функции .

Замена переменной в неопределенном интеграле во многих случаях позволяет свести его к более простому или даже табличному интегралу по переменной t, найти его и затем вернуться к переменной x.

Примеры

а. Линейная замена переменной

Пример 1. Найти ( ).

Решение. Введем переменную . Тогда , откуда . Используя формулу замены переменной (1.2) и табличный интеграл (VI), получаем

Пример 2. Найти .

Решение. Положим . Тогда . Используя формулу замены переменных (1.2) и табличный интеграл (X), получим

так что мы можем записать табличный интеграл (X) в более общем виде:

X. .

Аналогично получается табличный интеграл (IX):

IX. .

б. Замена переменной, приводящая к логарифму

Если надо проинтегрировать дробь , производная знаменателя которой лишь постоянным множителем отличается от числителя P(x), то замена Q(x) = t приведет к табличному интегралу (III).

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем . Положим . Тогда и .

в. Степенная замена

Пример 4. Вычислить .

Решение. Положим . Тогда , откуда . По формуле замены переменной (1.2), используя табличный интеграл (IV), получим

Интегрирование по частям

Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен . Интегрируя это равенство по переменной x, получим , откуда

. (1.3)

Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла. Рассмотрим два класса функций f(x), которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения f(x)dx в виде произведения udv следует брать в качестве u, а что в качестве dv. Ниже через P(x) обозначен многочлен.