Лекция 13. Принципы корреляционного анализа. Случайные процессы и их основные характеристики

 

Содержание лекции:

- автокорреляционная функция сигнала. Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.Взаимокорреляционная функция двух сигналов.Некоторые свойства взаимокорреляционной функции. Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Понятие случайного процесса.Плотность вероятности и интегральная функция распределения (ИФР).

 

Цель лекции:

- показать связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Ввести характеристику совокупности двух сигналов — их взаимокорреляционную функцию (ВКФ). Изучить явления при передаче сообщений в условиях, когда детерминированное описание сигналов принципиально невозможно и на смену ему приходит вероятностное (статистическое) описание. Описать свойства случайных сигналов, изучая совокупности случайных многомерных величин.

 

Для количественного определения степени отличия сигнала и( t ) и его смещенной во времени копии u ( t -τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u ( t ),равную скалярному произведению сигнала и копии

. (13.1)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (13.1) заведомо существует.

К числу простейших свойств АКФможно отнести ее четность

B_u(τ)=B_u(-τ). (13.2)

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала

. (13.3)

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала и(t)автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

Действительно, в соответствии с формулой (13.1) АКФ есть скалярное произведение: B_u(τ)=(u, u_τ). Здесь символом u_τобозначена смещенная во времени копия сигнала и (t-τ).

Обратившись к обобщенной формуле Рэлея, можно записать равенство

.

Спектральная плотность смещенного во времени сигнала , откуда .

Таким образом, приходим к результату

. (13.4)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье

. (13.5)

Имеется и обратное соотношение

. (13.6)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента его начала.

Во-вторых, формулы (13.4) и (13.6) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала.

Обобщая формулу (13.1), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и( t ) и v(t) скалярное произведение вида

(13.7)

Если в формуле (5.7) заменить переменную интегрирования, введя

х = t-τ, так что dt = dx , то, очевидно, возможна и такая запись

. (13.8)

Поэтому

. (13.9)

В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала,ВКФ,описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента τ: .

Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши — Буняковского: , откуда

, (13.10)

так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует обратить внимание на то, что при τ=0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. На основании обобщенной формулы Рэлея

.

Имея в виду, что величина есть взаимный энергетический спектр сигналов и(t) и v(t), определенный в бесконечном интервале частот -∞<ω<∞, приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.

В основе большинства методов исследования общей теории связи лежит представление о процессе передачи сообщения как некоторого случайного процесса, развивающегося (чаще всего) во времени. Словом случайныйподчеркивается то обстоятельство, что предопределить зара­нее точное протекание процесса невозможно. По определению, случайный процесс Х(t)—это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени tпринимаемые ею значения являются случайными величинами. Типичным примером случайного процесса может служить напряжение Z(Q) = s ( t ) + N ( t ) на входе приёмника. Наблюдая напряжение в данный момент, мы не можем с полной определённо­стью предсказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это объясняется тем, что параметры формируемого передатчиком канального сигнала s ( t )(амплитуда, частота, фаза) изменяются случайным образом в соот­ветствии с передаваемым сообщением a ( t ).Кроме того, в процессе передачи сигнал подвергается воздействию различных аддитивных помех N ( t ), имеющих случайный характер, например, в виде электрических разрядов в атмосфере, помех от электрического транспорта, помех от других радиостанций и т.д. Случайность процесса X ( t )проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция х( t ) не случайна, её называют реализацией случайной функции.Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализации, образующих статистический ансамбль. На рисунке 5.1 показаны четыре реализации случайного процесса. Если на графике множества реализации случайной функции Х( t ) (см. рисунок 13.1) выбрать момент (сечение) t₁, то множество {х^(r)(t₁)} значений реализации в этот момент образует случайную величину X.Значения этой случайной вели­чины заранее неизвестны. Но можно установить некоторые закономерности, по которым можно судить о том, что в данном сечении случайная величина с вероятностью Рбудет принимать значение в определённых пределах [x,x+∆x].

Для непрерывных процессов X ( t )распределение вероятностей в заданном сеченииt ₁ характеризуется одномер­ной плотностью вероятностей(ПВ)

,

выражающей отношение вероятности того, что случайная величина X ( t )примет значения в интервале , к величине интервала ∆х На рисунке 13.2, аизображён типовой график одномерной ПВ.

Вероятность того, что случайная величина Xпримет значение в интервале (x₁;x₂)опреде­ляется выражением .

Рисунок 13.1 - Задание случайного процесса через совокупность его реализаций Рисунок 13.2 - Типовой график (а) одномерной ПВ и (б) одномерной ИФР

Другой важной характеристикой случайных величин Хявляется ИФР F ( x ),определяемая как вероятность того, что случайная величина X не превзойдёт некоторого значения х .

ИФР имеет следующие свойства:

а)F(-∞)=0;

б) F(∞)=1;

в) F(x) — неубывающая функция, т.е. F ( x ₂ ) ≥ F ( x ₁ ) при х₂ > x ₁ ;

г) P[x₁≤X≤x₂]=F(x₂)-F(x₁)

График ИФР F { x )приведён на рисунке 13.2, б.

В прикладных задачах часто предполагают, что ИФР являются дифференцируемыми функциями и определяют w(x) как производную от ИФР:

.

Для более полного описания случайного процесса нужно располагать его n-мерной плотно­стью вероятностиw ( x ₁ , x _2,…, x_n ; t ₁ , t _2,…, t_n) или n-мерной ИФР F ( x ₁ , x _2,…, x_n ; t ₁ , t _2,…, t_n), выражающих свойства случайного процесса в произвольных сечениях t ₁ , t _2,…, t_n. Для полного описания непрерывного во времени СП приходится п→∞ .

Моменты, которые наблюдаются в сечениях процессов, зависят от временных аргументов, они получили название моментных функций. Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции.

---

Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 285; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!