Определение процентного соотношения

· Давайте ученикам побольше таких задач.

· Чтобы определить процентное соотношение, ученики должны представить себе обыкновенную дробь.

· Ученикам важно изучить все три нижеследующих способа, это увеличит скорость решения задач и подвижность их мышления.

1. Обыкновенную дробь можно сократить до дроби, для которой мы уже запомнили проценты.

Пример: Сколько процентов составляет 240 от 400?

Решение:  сокращается до , а это 60% (нужно запомнить, что  = 60%)

 

1. Знаменатель дроби можно легко привести к 100.

Пример: Сколько процентов составляет 7 от 25?
Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби  на 4 и получим , что есть 28%.

1. Сначала дробь приводится к десятичному виду делением числителя на знаменатель.

· Этим методом всегда можно воспользоваться, но иногда это замедляет работу. Ученики должны применять его только когда предыдущие два применить невозможно.

Пример: Сколько процентов составляет 270 от 2400?

Решение:  можно сократить до . Выполним деление 9 на 80 и получим 0,1125 что есть 11,25

Пример: В тесте из 75 вопросов Ваня ответил правильно на 62. В тесте из 70 вопросов Петя правильно ответил на 59. Кто из них лучше сдал тест в процентном соотношении?

Решение: Ваня ответил правильно на  из всех вопросов, т.е. на 82 % или 82,(6)%. Петя ответил правильно на  из всех вопросов, т.е. на 84²/₇ % что примерно равняется 84,3%. Таким образом, Петя сдал тест лучше в процентном соотношении.

Задачи на увеличение и уменьшение процентов

· Увеличение и уменьшение числа на заданный процент.

Начните с очень простых задач и постепенно придите к решению задач наподобие этих:

Пример: Сколько будет, если 430 увеличить на 20%?

Решение: 20% от 430 это 430 ∶ 5, т.е. 86. Теперь увеличим 430 на 86 и получим ответ 516.

Пример: Сколько будет, если 60 уменьшить на 15%?

Решение: 15% от 60 это 9. Уменьшим 60 на 9 и получим ответ 51.

· Вычисление процента увеличения или уменьшения.

Задачи такого типа (на сколько процентов 20 больше чем 16?) нужно оставить до седьмого класса, чтобы у учеников было время «переварить» и осмыслить начальные знания о процентах, полученные в шестом классе.

 

Прибыль, комиссия и налоги

· Задачи на вычисление прибыли, комиссии и налогов – это задачи на вычисление процентов. (см. Задачи на процентное увеличение и уменьшение, выше.)

Пример(Прибыль): Затраты Билла на производства стула составляют $36, включая затраты на исходные материалы и труд. По какой цене он должен продавать свои стулья, если он хочет получить прибыль 30%?

Решение: 30% от 36 есть $10.80, что составляет прибыль Билла от продажи одного стула. Таким образом, он должен продавать каждый стул по цене $36+$10.80, т.е. по $46.80.

Пример(Комиссия): Если агент по недвижимости берет комиссию в размере 2% от продажи дома, то сколько денег он заработает, если продаст дом стоимостью $348,000?

Решение: 2% oт $348,000 составит комиссию в размере $6960.

Пример(Налоги): Если велосипед в магазине стоит $260, то сколько мы должны заплатить, если ставка налога составляет 7%?

Решение: 7% от 260 составляет $18.20, что есть сумма налога. Общая цена составит 260+18.20, т.е.  $278.20.

Проценты по кредиту

· Сравнение простых и сложных процентов.

· Большинство банков сейчас не работают с простыми процентами, так что эту тему мы изучаем в аспекте истории. Например, можно подчеркнуть, что раньше ростовщики давали деньги в долг под простые проценты, потому что такие вычисления были легче. Потом в какой-то момент было решено, что простые проценты не честны, и были введены сложные проценты.

Пример: Чтобы понять разницу между простыми и сложными процентами, представим, что Ваня взял в долг $500 под простые проценты 10%, а Маша взяла в долг $500 под 10% ежегодно. Срок каждого кредита - 2 года.   
Через один год и Маша, и Ваня будут должны отдать $50 процентов. Различие появится через два года. Ваня взял кредит под простые проценты, поэтому проценты за второй год будут взяты от первоначальной суммы кредита, т.е. он должен будет отдать снова $50 за второй год. Машин кредит высчитывается по-другому. Сложные проценты высчитываются от всей суммы долга на текущий момент, т.е. от первоначальной суммы кредита и процентов на текущий период. Таким образом, через два года Маша будет должны отдать 10% от $550 (500 + 50), что составит $55.
Таким образом, через два года Ваня будет должен $100 процентов, а Маша - $105 процентов.

· Вычисление простых процентов.

· Сначала ученики должны научиться решать задачи на простые проценты без использования формулы (см. Экономические формулы ниже). Это поможет им понять, что формула – не просто какая-то загадочная вещь, что она выражает что-то, что им уже знакомо языком алгебры.

Пример: Катя согласилась дать Вите $800 взаймы под 5% (простые проценты). Сколько процентов Витя должен будет заплатить Кате через 4 года?

Решение: Проценты за один год составят5% от $800 или $40. Через четыре года Витя должен будет отдать 4*40 = $160.

· Вычисление сложных процентов следует отложить до седьмого класса.

Скидки и убытки

· Задачи на вычисление скидок и убытков – это задачи на процентное уменьшение. (см Задачи на процентное уменьшение и увеличение, выше)

Пример: Магазин одежды устраивает распродажу со скидками 35% на все товары. Какова будет цена куртки со скидкой, если начальная ее стоимость  составляла $119?

Решение: 35% от 119 составит скидку 41.65, т.е. новая цена составит 119−41.65, или $77.35.

Уровень оплаты

Примечание: “в” означает “за каждый”, и в словесных задачах является символом деления.

Пример: Как скоро Маша заработает $2000, если ей платят $12.50 в час, и она работает 25 часов в неделю?

Решение: Разделим 2000 на 12.5 и получим, что для того, чтобы заработать  $2000 требуется 160 часов. Теперь выясним, за сколько недель Маша отработает 160 часов. Разделим 160 на 25, получим 6 и в остатке 10. Таким образом, Маша должна работать 6 недель и 10 часов, чтобы заработать $2000.

Пример: Сколько зарабатывает в час человек, который получает $75,000  в год, работая 40 часов в неделю и имея 2 недели отпуска ежегодно?

Решение: Работая 50 недель в год и 40 часов в неделю, этот человек работает 2000 часов в год. Разделим 2000 на 75000 и получим часовую оплату $37.50 в час.

Пример: Даше платят $4.50 в час за присмотр за детьми. Сколько она заработает, присматривая за детьми 3 часа 20 минут?

Решение: Т.к. 20 минут есть ⅓ часа, то мы имеем: $4.50·3⅓, что есть 4.5· . В ответе получим $15.

Поштучная цена  

· В этих задачах ученикам стоит практиковаться почаще, чтобы решать их хорошо.

· Этот метод используется для определения стоимости предметов, продаваемых по определенной цене за штуку.

Пример: Если 7 ручек стоят $3.64, то сколько стоят 12 ручек?

Решение: Данный метод требует сначала вычислить стоимость штуки товара. В этом примере разделим 3.64 на 7 и получим, что цена одной ручки составляет $0.52.  Тогда 12 ручек  стоят 12 x 0.52, что составит $6.24.

Пример: Если 2½ фунта сыра стоят $10.98, то какова цена за фунт? 

Решение: Цена за фунт составит 10.98÷2.5, т.е. $4.39. 

Формулы перевода температур        C = (F − 32)   F = C + 32

· Это введение в формулы перед основным уроком Экономики.  (выполняется на уроке-упражнении)

· Я не объясняю, почему эти формулы работают, возможно, они кажутся ученикам немного волшебными, и это позволяет почувствовать силу формул. Потом, в ходе основного урока по экономике, это впечатление меняется, когда мы на примере экономических формул (см. Экономические формулы ниже) показываем ученикам, что формулы выражают то, с чем они уже знакомы.

· Представим термометр, который имеет и шкалу Цельсия, и шкалу Фаренгейта. Это поможет соотнести обе шкалы. Мы видим, что точка замерзания воды соответствует 0°C = 32°F. Отсюда мы можем увидеть, что каждое увеличение температуры на 5°соответствует увеличению на 9°F, что видно на шкале справа. Такой термометр также проливает свет на то, откуда берутся формулы, данные выше.

· Отложите задачи с отрицательными числами (например, 10 градусов ниже нуля) до седьмого класса.

Пример: Какой температуре по шкале Фаренгейта соответствует 30°C? 

Решение: Подставим 30 вместо C во второй формуле и получим
F = (30) + 32. В ответе запишем 86°F.

C° F°

35 95

30 86

25 77

20 68

15 59

10 50

 5 41

 0 3

Экономические формулы

· Формулы подводят учеников к знакомству с понятием переменной и кFormulas serve as an introduction to the concept of a variable, and give the students a brief glimpse into the thinking behind algebra.

· Перед тем, как знакомить учеников с каждой экономической формулой, убедитесь, что они могут легко решить эту задачу без использования формулы. Это поможет им понять, что формула не просто какая-то загадочная вещь, что формула - это запись того, что они и так уже знают, языком алгебры. Без этого понимания ученики будут пользоваться формулами вслепую, не осознавая, что они делают на самом деле.

· Уровень оплаты $ = R·T    где $ есть оплата, R - уровень оплаты, T - время

· Простые проценты I = P·R·T где I есть сумма процентов, T – количество лет, P сумма займа (or size of loan), а R – процентная ставка в виде десятичной или обыкновенной дроби

Пример: Используем пример, данный выше (см. Вычисление простых процентов выше): Катя согласилась дать Вите $800 взаймы под 5% (простые проценты). Сколько процентов Витя должен будет заплатить Кате через 4 года?

Решение: P = 800; R = 5%, что есть 0.05 в виде десятичной дроби; T = 4. Следовательно I = 800·0.05·4 = $160.

· Стоимость с налогом F = B + B·R       где F – окончательная стоимость, B исходная стоимость, а R – процентная ставка налога в виде десятичной или обыкновенной дроби

Пример: Сколько вы должны будете заплатить за рубашку, если ее стоимость $28, а ставка налога составляет 4%?

Решение: Исходная стоимость (B) составляет 28, ставка налога (R) составляет 0.04. Таким образом, выполним действие:
F = 28 + 28·0.04, и получим окончательную стоимость $29.12.

· Стоимость со скидкой  F = B − B·R      где F – окончательная стоимость, B исходная стоимость, а R – процент скидки в виде десятичной или обыкновенной дроби

Пример: Сколько будет стоить велосипед со скидкой 30%, если его первоначальная стоимость составляла $320?

Решение: Исходная стоимость (B) составляет 320, процент скидки (R) составляет 0.3. Таким образом, выполним действие:
F = 320 − 320·0.3, и получим окончательную стоимость (без учета налога) $224.

· Можно дать ученикам еще несколько подходящих формул.

Графики

· Нет смысла тратить много времени на графики, потому что многое в этой теме выполняется интуитивно. Лучше сделайте не много упражнений, но качественно. Вам могут пригодиться примеры графиков из свежих газет и журналов.

· Круговые диаграммы. См. наш задачник для шестого класса для хороших примеров.

· Линейные графики. См. наш задачник для шестого класса для хороших примеров

· Хорошее упражнение для основного урока: Попросите учеников составить круговую диаграмму, которая показывает, как распределяется их время в течение дня.

· За четверть часа каждый студент должен записать, как он проводит время в течение дня. Лучше выделить около восьми различных занятий (например, еда, сон, выполнение домашнего задания, школа и т.д.).

· Переведите часы в проценты от суток.

· Определите, сколько градусов от 360° на круговой диаграмме займет каждое занятие.

· Начертите круговую диаграмму, используя транспортир. Подпишите, какому занятию соответствует каждый сектор и какова его процентная доля.

 

Инструменты вычисления

· Эту тему стоит включить как обзор системы измерений

· Давайте примеры с использованием рулетки или таблицей размер болтов

· Измерения с обыкновенными дробями

Пример: Если диаметр одного сверла составляет 3/8, а другого 11/32, то какое из них больше и на сколько?

Решение: Сначала приведем дроби к общему знаменателю 32. Таким образом, 3/8 преобразуем в 12/32. Теперь запишем ответ: сверло 3/8 больше, чем сверло 11/32 на 1/32.

Пример: Если длина одной доски составляет 3 фута 4⁵/₈ дюймов, а длина другой доски 5футов 2¼ дюймов, то на сколько одна доска длиннее другой? 

Решение: Первый способ решения задачи – записать обе длины в дюймах. 3 фута 4⁵/₈ дюймов есть 40⁵/₈  дюймов, а 5футов 2¼ дюймов есть 62¼ дюйма. 62¼ − 40⁵/₈ ® 62²/₈ − 40⁵/₈ теперь снесем единицу у первого числа под знак дроби ® 61¹⁰/₈ − 40⁵/₈ ® первая доска длиннее на 21⁵/₈" или 1' 9⁵/₈" длиннее.

Пример: Если ширина лезвия пилы составляет ¹/₈ дюйма и мы должны разрезать доску длиной 9 футов 8¼ дюйма на 7 частей одинаковой длины, то сколько будет длина каждого куска?

Решение: Чтобы разрезать доску на 7 кусков, мы должны разрезать ее в шести местах. Ширина всех разрезов составит ⁶/₈ или ¾ дюйма. Вычтем ¾ дюйма из 9 футов 8¼ дюйма и получим 9 футов 7½ дюйма, что есть 115½ дюйма. Разделим это число на 7 и получим 7 одинаковых досок длиной 16½ дюйма, или 1 фут 4½ дюйма.

---

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 501; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!