Разложение на простые множители

· Не используйте дерево множителей. Часто ученики не понимают этот метод, и, глядя на дерево множителей, не могут понять, каково же окончательное разложение.

· Лучше шаг за шагом разбивать составное число на произведение двух множителей, пока не останутся только простые числа. Ученикам важно осознать, что все шаги эквивалентны.

Пример: разложить число 700 на простые множители.

Решение: есть несколько вариантов решения, ниже мы приводим два из них. Помните, что каждый шаг – это новый способ представить число 700 как произведение некоторых множителей.

· 700 = 7 ⋅ 100 = 7 ⋅ 2 ⋅ 50 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 10 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2² ⋅ 5² ⋅ 7

· 700 = 25 ⋅ 28 = 5 ⋅ 5 ⋅ 14 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2² ⋅ 5² ⋅ 7

Пример: Разложить на простые множители число 208 (ответ: 2⁴  ⋅ 13)

Пример: Разложить на простые множители число 12375 (ответ: 3² ⋅ 5³ ⋅ 11)

· Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД). (Необязательная тема).

· Простые задания можно сделать в уме:

Пример: найти НОК и НОД для 12 и 8.

Решение: НОК – 24, НОД – 4.

· Для больших чисел при нахождении НОК и НОД удобно использовать разложение на простые множители.

Пример: найти НОК и НОД для чисел 29040 и 207900.

Решение: разложим числа на простые множители:

29040 = 2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11²

207900 = 2² ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11

НОД – это то, что общее для обоих чисел. В нашем случае это 2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 или 660.

НОК включает в себя всё из обоих разложений, но без повторений. В нашем примере это 2 ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11² или 9147600.

· Общий знаменатель для «некрасивых» дробей.

Пример:

Решение: разложим знаменатели 3024 и 576 на простые множители:

3024 = 2⁴ ⋅ 3³ ⋅ 7

576 = 2⁶ ⋅ 3²

Таким образом, общий знаменатель (НОК) есть 2⁶ ⋅ 3³ ⋅ 7, или 12096. Мы должны умножить числитель и знаменатель первой дроби на 2² (т.е. 4), а второй дроби на 3 ⋅ 7 (т.е. 21). Запишем окончательный ответ:

Деление

Деление и дроби

· Рассматривайте деление как дробь

· Сначала сократите, потом делите (см. приложение D «Математические приемы в шестом классе»).

Пример: 804 ∶ 44.

Решение: представим задачу как дробь и сократим ее до . Таким образом, мы упростили задачу. Теперь поделим 201 на 11 и в результате получим ответ

Пример: 108 ∶ 48 сокращается (делением числителя и знаменателя на 12) до 9 ∶ 4 или 2¼

 

· Упрощайте деление. Думайте о делении как о дроби! Есть два способа сделать деление легче.

· Передвигаем десятичную запятую в делителе вправо.

Пример: из 30,17 ∶ 0,035 получаем 30170 ∶ 35, если умножим делимое и делитель на 1000 или передвинем запятую на три знака.

· Убираем лишние нули в делителе, т.е. передвигаем невидимую десятичную запятую влево.

Пример: из 173,6 ∶ 800 получаем 1,736 ∶ 8, если разделим делимое и делитель на 100 или передвинем запятую на два знака влево.

 

Деление столбиком

· Словарь:
Делимое – число, которое подвергается делению делителем.
Частное – результат деления.

 

Делимое	1620	5	Делитель
		324	Частное

 

· Обычное деление столбиком. Упражняйтесь как можно больше в делении столбиком. Выбирайте не более чем четырехзначные делители.

· Не оставляйте остаток. Ученики должны записывать ответы либо в виде смешанных чисел, либо в десятичных дробях.

Пример: ответ для 58 ∶ 5 может быть представлен как , либо как 11,6.

· Как проверить, не является ли ответ слишком маленьким? Если на каком-либо шаге остаток оказался равным или больше, чем делитель, то предыдущая цифра в ответе была слишком маленькой. Попросите учеников найти ошибку:

 

─	7990	47
		161
	47
─	329
	282
─	47
	47
	0

 

· Объяснение, как работает деление столбиком

· Немногие люди на самом деле понимают, почему метод деления столбиком дает верный ответ. Объясняя ученикам этот метод, мы снимаем с него завесу тайны и помогаем ученикам научиться думать.

· Ключ к пониманию деления столбиком – это осознать, что всё, что мы при этом делаем – это узнаём, сколько раз можно вычесть делитель из делимого.

· При делении столбиком мы вычитаем из делимого произведение делителя на некий множитель, смотрим на остаток и опять вычитаем из остатка произведение делителя на некий множитель, и повторяем эту операцию до тех пор, пока остаток не станет меньше делителя. Ответом является сумма всех таких множителей.

Рассмотрим пример: 112182 ∶ 42 (ответ 2671)

 

Обычная запись выглядит так:	В полном виде деление столбиком можно записать так:
─ 112182 42   2671 84          ─ 281   252          ─ 298   294          ─ 42   42       0	─ 112182 42   2000+600+70+1=2671 84000          ─   28182   25200          ─ 2982   2940          ─    42      42          0

 

 

· Полная запись деления столбиком поможет понять, что мы делаем на самом деле. Мы помним, что нам необходимо узнать, сколько раз можно вычесть 42 из 112182. Сначала 42 вычтем 2000 раз (т.е. вычтем 84000), в остатке получим 28182. На следующем шаге мы можем 42 вычесть 600 раз (25200), в остатке получим 2982. Далее 42 вычтем 70 раз (2940), в остатке получим 42. В окончательный ответ запишем сумму всех промежуточных ответов, т.е. 2000 + 600 + 70 + 1 = 2671.

· Важно объяснить ученикам, что деление столбиком есть ни что иное, как укороченная записать полного метода.

· Также важно понять, что обычное деление столбиком ограничено тем, что на каждом шаге мы находим одно число из ответа, и все эти числа должны быть верными, тогда как полная версия не имеет таких ограничений. Например, вместо того, чтобы 42 вычитать 2000 раз, потом 600 раз, затем 70 раз и 1 раз, мы можем (более-менее случайным образом) вычесть 42 сначала 1500 раз, потом вычесть 42 из остатка 800 раз, потом 120 раз, потом 240, а потом 11, и мы получим тот же результат!

 

· Упрощение сложных задач на деление с помощью округления (Должно быть изучено в 5 классе.)

· Ученики должны быть в состоянии в достаточной степени точно и быстро оценить, сколько раз делитель помещается в остатке (на любом шаге деления).

· Очень важно для учеников отрабатывать этот навык. Это поможет повысить скорость деления столбиком, и развить чувство числа.

Ключевой пример: 293346 ∶ 387

Решение: Ученикам важно понять следующее объяснение.

Нужно сразу округлить делитель до 400 и отбросить 2 последних нуля. Таким образом, первый вопрос, который они должны себе задать – это «сколько раз 4 можно вычесть из 29?», а не «сколько раз 397 можно вычесть из 2933?». Так как 4 можно вычесть из 29 7 раз, то мы можем с большой уверенностью предположить, что 397 можно вычесть из 2933 тоже 7 раз. Далее продолжаем решение нашей исходной задачи обычным образом: пишем первую цифру в ответ – 7; умножаем 387 на 7, получаем 2709; вычитаем 2709 из 2933, в остатке получим 224. Так как остаток 224 оказался меньше делителя 387, мы делаем вывод, что 7 был правильный, не слишком маленький ответ. На следующем шаге сносим вниз 4, приписываем его к нашему остатку с правой стороны, получаем 2244. Теперь мы можем записать задачу так:

 

─	293346	387
		7
	2709
	2244

 

Скорее всего, теперь мы спросим себя: «Сколько раз можно вычесть 387 из 2244?», но гораздо легче ответить на вопрос «Сколько раз 4 можно вычесть из 22?». Ответ – 5, из чего мы можем предположить, что 387 можно вычесть из 2244 тоже 5 раз. Следовательно, запишем 5 следующей цифрой в ответ, следом за 7. Далее умножаем 387 на 5, получаем 1935; вычитаем 1935 из 2244, в остатке получим 309.
На следующем шаге сносим вниз 6. Запись задачи теперь выглядит так:

 

 

─	293346	387
		75
	2709
─	2244
	1935
	3096

 

И опять, вместо «Сколько раз можно вычесть 387 из 3096?» спросим себя «Сколько раз можно вычесть 4 из 31?» (обратите внимание, что мы сказали 31, так как 3096 округляется до 3100). Теперь мы можем подумать, что 4 помещается в 31 только 7 раз, но на самом деле это почти 8 раз. Так как мы округлили 387 до 400, то теперь мы можем предположить, что 387 помещается в 3096 8 раз, а не 7. Однако мы не можем быть в этом уверены. Попробуем умножить 387 на 7, получим 2709, вычтем 2709 из 3096, в остатке получим 387. Это значит, что мы можем вычесть 387 из делимого еще раз, то есть не 7, а 8 раз. Оказывается, что 8 – это правильный ответ. Значит, запишем третью цифру в ответ – 8. Окончательный ответ: 758

 

─	293346	387
		758
	2709
─	2244
	1935
─	3096
	3096
	0

 

Деление в строчку, где делитель – однозначное число (должно вводиться в 3 или 4 классе).

Пример: 58741 ∶ 7 (оставьте ответ в виде смешанного числа).

Шаг 1: 7 помещается в 58 восемь раз, остаток 2.

	7
	8

 

Шаг 2: 7 помещается в 27 три раза, остаток 6.

	7
	83

 

Шаг 3: 7 помещается в 64 девять раз, остаток 1.

	7
	839

 

Шаг 4: 7 помещается в 11 один раз, остаток 4. Далее запишем остаток над делителем, тем самым образуем дробную часть смешанного числа.

 

	7
	8391 Ответ

Проверка ответов умножением. Проверяйте ответы также в том случае, когда ответ – смешанное число.

Пример: Проверим ответ к задаче выше: 8391 ⋅ 7 + 4 = 58741. Верно!

 

Дроби

· Включайте несколько задач на дроби в каждый урок. Ученики должны почувствовать, что работать с дробями легко.

---

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 687; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!