Задачі для самостійного розв’язання

Задача10.1. Важка точка піднімається по негладенькій похилій площині, яка утворює кут  з горизонтом. У початковий момент швидкість точки дорівнювала . Коефіцієнт тертя f=0,1. Який шлях пройде точка до зупинки? За який час точка пройде цей шлях?

Відповідь: s=19,57м, t=2,61с.

 

Задача10.2. Тіло масою m у результаті поштовху пройшло по негладенькій горизонтальній площині за 5с відстань s=24,5м і зупинилося. Визначити коефіцієнт тертя f .

Відповідь: f=0,2.

 

Задача10.3. Камінь падає в шахту без початкової швидкості. Звук від удару каменю об дно шахти почутий через 6,5с від моменту початку його падіння. Швидкість звуку дорівнює 330м/с. Знайти глибину шахти.

Відповідь: h=175м.

Задача10.4. При пострілі з гармати снаряд вилітає з горизонтальною швидкістю 570м/с. Маса снаряду 6кг. Який середній тиск порохових газів, якщо снаряд проходить у середині дула гармати 2м? Скільки часу рухається снаряд у дулі гармати, якщо вважати тиск газів сталим?

Відповідь: Р=4,88·10⁵Н, t=0,007с.

 

Задача10.5. За який час і на якій відстані може бути зупинений вагон трамваю, що йде по горизонтальному шляху зі швидкістю 10м/с, якщо опір руху, що розвивається при гальмуванні, становить 0,3 ваги вагона.

Відповідь: t=3,4с, s=17м.

 

Задача10.6. Літак А летить на висоті 4000м над землею з горизонтальною швидкістю 140м/с. На якій відстані х, що вимірюється по горизонтальній прямій від даної точки В, повинен бути скинутий з літака без початкової відносної швидкості який-небудь вантаж для того, щоб він впав у цю точку? Опором повітря знехтувати.

Відповідь: х=4000м.

Задача10.7. При куті кидання  снаряд має горизонтальну дальність . Визначити горизонтальну дальність при куті кидання . Опором повітря знехтувати.

Відповідь: .

 

Задача10.8. Знайти найбільшу швидкість падіння кулі масою 10кг і радіусом , беручи до уваги, що опір повітря дорівнює , де  – швидкість руху,  – площа проекції тіла на площину, перпендикулярну напрямку його руху, і k – чисельний коефіцієнт, що залежить від форми тіла і має значення для кулі .

Відповідь: v_max=142,5м/с.

Задача10.9. Літак летить горизонтально. Опір повітря пропорційний квадрату швидкості й дорівнює 0,5Н при швидкості 1м/с. Сила тяги стала, дорівнює 30760Н і утворює кут  з напрямком польоту. Визначити найбільшу швидкість літака.

Відповідь: v_max=246м/с.

Задача10.10. Тіло масою 2кг кинуте вертикально вгору зі швидкістю 20м/с. Опір повітря при деякій швидкості  дорівнює 0,4v Н. Знайти, через який час тіло досягне найвищого положення.

Відповідь: 1,71с.

Практичне заняття №11

Тема: Прямолінійні коливання матеріальної точки

Програмні питання

Диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної точки при відсутності опору, його загальні розв’язки (у двох виглядах). Амплітуда, фаза і період коливань. Вплив сталої сили на вільні коливання точки. Статичне відхилення.

Диференціальне рівняння вимушених коливань матеріальної точки, його загальний розв’язок. Явище резонансу.

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л. 27.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Высшая школа, 1986. – 461 с., §§ 94 – 96.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Наука, 1983. – 400 с., §§ 74 – 76.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§16.1 – 16.4.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Наука, 1986. – 448 с.

Короткі теоретичні відомості

Вільні коливання точки. Розглянемо точку M, яка рухається прямолінійно під дією однієї тільки поновлюючої сили , напрямленої до нерухомого центра O і пропорційної відстані від його центра. Проекція сили  на вісь Ox буде (рис.40):

Сила  намагається повернути точку в положення рівноваги О, де F=0, тому і назва „поновлююча” сила. Прикладом такої сили є сила пружності.

Знайдемо закон руху точки M. Складемо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь х, дістанемо:

 або

Розділивши обидві частини рівняння на m і ввівши позначення

дійдемо результату:

Це рівняння є диференціальним рівнянням вільних коливань при відсутності опору.

Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

де С₁ і С₂ – сталі інтегрування.

Якщо замість сталих С₁ і С₂ ввести сталі А і α, такі, що , , то дістанемо:

x=A(sin kt cos α+cos kt sin α)

або

Це другий вигляд розв’язання диференціального рівняння, де сталі інтегрування А і α. Ним зручніше користуватись для загальних досліджень.

Швидкість точки в цьому русі:

Коливання, здійснювані за цим законом, називаються гармонійними коливаннями точки.

Всім характеристикам цього руху можна дати наочну кінематичну інтерпретацію.

Величина A, яка дорівнює найбільшому відхиленню точки M від центра О, називається амплітудою коливань. Величина φ=kt+α називається фазою коливань. Величина α визначає фазу початку коливань (початкова фаза).

Величина k називається круговою частотою коливань.

Проміжок часу T (або τ), за який точка здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. По проходженні періоду фаза змінюється на 2π. Отже, повинно бути kТ=2π, звідки період:

Величина , обернена періоду, яка визначає кількість коливань за 1с, називається частотою коливань:

Величина k відрізняється від  на сталий множник 2π. Далі ми будемо частотою коливань називати величину k.

Вимушені коливання точки. Явище резонансу. Розглянемо випадок коливань, які виникають тоді, коли на точку, крім поновлюючої сили , діє ще сила , яка змінюється з часом і проекція якої на вісь х дорівнює:

Q_x=Q₀sin pt.

Ця сила називається збуджуючою, а коливання, що здійснюються під дією такої сили, називаються вимушеними. Величина р називається частотою збуджуючої сили.

Диференціальним рівнянням вимушених коливань точки при відсутності опору є:

де .

Загальний розв'язок рівняння має вигляд:

або

де А і α – сталі інтегрування, які визначаються за початковими умовами.

Цей розв'язок показує, що коливання в цьому випадку складаються з: 1) коливань із амплітудою А (яка залежить від початкових умов) і частотою k, які називаються власними коливаннями; 2) коливань із амплітудою B (яка не залежить від початкових умов) і частотою p, які називаються вимушеними коливаннями.

Резонанс. У випадку коли p=k, тобто частота збуджуючої сили дорівнює частоті власних коливань, має місце явище, яке називається резонансом. Можна довести, що амплітуда вимушених коливань при резонансі буде з часом необмежено зростати (рис. 41).

 

Приклади розв’язання задач

Задача 1.До вільного кінця А пружного горизонтального стержня, другий кінець В якого закріплений нерухомо, підвішений вантаж М вагою Р=40Н. Пружна сила стержня пропорційна стрілі прогину f. Статична стріла прогину стержня f_ст=0,04м. Визначити рівняння вантажу і період його коливань. Стержень прогинається на 0,01м під дією сили 10Н.

Розв’язання

На вантаж М, який розглянемо як матеріальну точку, діють сила ваги  та сила пружності  (рис. 42).

Нехай М₀ — початкове положення вантажу, при якому стержень не має прогину. Вісь Оx напрямимо вздовж вертикальної прямої, по якій рухається вантаж. Початок координат О оберемо в положенні статичної рівноваги так, що . У цьому положенні

,

де с – коефіцієнт пружності.

У довільному положенні М вантажу .

Складемо диференціальне рівняння руху вантажу:

,

звідки враховуючи, що P=сf_ст, дістанемо:

 або ,

де .

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку має загальний розв’язок:

.

Сталі С₁ і С₂ визначаємо з початкових умов: при t=0: x₀=–f_ст, . Дістанемо: С₁=–f_ст, С₂=0.

Тоді закон коливального руху вантажу буде:

або враховуючи, що f_ст=0,04м, с=10Н/м, , рівняння руху вантажу набуде вигляду:

.

Період коливань:

.

Задача 2.Тіло масою m=2кг, підвішене на пружині, відхиляють вниз із положення рівноваги x₀=0,04м і відпускають, надаючи йому швидкість , напрямлену вгору. Відомо, що сила F=12Н збільшує довжину пружини на 0,03м. Знайти основні характеристики і кінематичний закон руху тіла.

Розв’язання

Очевидно, що тіло здійснює вільні гармонійні прямолінійні коливання. Тоді закон його руху має вигляд:

.

Знайдемо характеристики руху тіла: A – амплітуду, T – період, k – кругову частоту,  – початкову фазу коливань.

Знаючи, що  (де с — коефіцієнт жорсткості пружини), визначимо с:

Тоді:

(с^–1);

(с);

 (м);

звідки

.

Кінематичний закон руху тіла:

(м).

Задача 3.Тверде тіло масою m=0,4кг підвішене на пружині, верхній кінець якої здійснює гармонійні коливання вздовж вертикальної прямої за законом , при цьому a=0,02м, р=7с^–1. Під дією сили, яка дорівнює 0,4Н, пружина видовжується на 0,01м. Визначити закон вимушених коливань тіла.

Розв’язання

Тіло розглянемо як матеріальну точку. Координатну вісь напрямимо вздовж прямої руху матеріальної точки вертикально вниз (рис. 43). Початок координат розмістимо в положенні статичної рівноваги матеріальної точки. Зобразимо сили, які діють на матеріальну точку: силу пружності пружини  і збуджуючу силу  (Р_х= сх= с аsin pt).

Складемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в проекції на вісь Ох:

.              (1)

Позначимо , , тоді рівняння (1) набуде вигляду:

.                        (2)

З урахуванням початкових умов:

,

тоді k=10c^-1,

.

Оскільки , амплітуда вимушених коливань:

.

Тоді закон руху тіла має вигляд:

.

 

Питання для самоконтролю

1.Вивести диференціальне рівняння вільних коливань точки. Його загальні розв’язки в двох виглядах.

2.Дати кінематичну інтерпретацію всім характеристикам вільних коливань точки.

3.Що називається амплітудою коливань, фазою, початковою фазою, круговою частотою, частотою та періодом коливань?

4.Як визначаються сталі інтегрування А та α?

5.Як впливає стала сила на характер вільних коливань точки?

6.Коли виникають вимушені коливання матеріальної точки?

7.Записати диференціальне рівняння вимушених коливань точки та його загальний розв’язок.

8.Дати пояснення явищу резонансу.

---

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 637; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!