Задачі для самостійного розв’язання

Задача 7.1. Визначити кутову швидкість: 1) секундної стрілки годинника; 2) хвилинної стрілки годинника; 3) годинної стрілки годинника; 4) обертання Землі навколо осі, вважаючи, що Земля робить один оберт за 24 години; 5) парової турбіни Лаваля, що робить 15000 об/хв.

Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

 

Задача 7.2. Написати рівняння обертання диска парової турбіни при пуску в хід, якщо відомо, що кут повороту пропорційний кубу часу і при t=3с кутова швидкість диска дорівнювала .

Відповідь: φ=πt³ рад.

 

Задача 7.3. Маятник відцентрового регулятора обертається навколо вертикальної осі АВ і робить 120об/хв. У початковий момент кут повороту дорівнює . Знайти кут повороту і кутове переміщення маятника за час t=0,5с.

Відповідь: ; ∆φ=2π рад.

Задача 7.4. Тіло, починаючи обертатися рівноприскорено із стану спокою, робить 3600обертів у перші 2хвилини. Визначити кутове прискорення.

Відповідь: ε=π .

Задача 7.5. Вал починає обертатися рівноприскорено із стану спокою; в перші 5с він здійснює 12,5 обертів. Яка його кутова швидкість по проходженні 5с?

Відповідь: ω=10π .

Задача 7.6. Махове колесо починає обертатися із стану спокою рівноприскорено; через 10хв після початку руху воно має кутову швидкість . Скільки обертів зробило колесо за ці 10хв?

Відповідь: N=600обертів.

Задача 7.7. З моменту виключення мотора пропелер літака, який обертався з кутовою швидкістю , зробив до зупинки 80обертів. Скільки часу пройшло з моменту виключення мотора до зупинки, якщо вважати обертання пропелера рівносповільненим?

Відповідь: 8с.

Задача 7.8. Визначити швидкість v і прискорення а точки, що знаходиться на поверхні Землі в Санкт-Петербурзі, беручи до уваги тільки обертання Землі навколо своєї осі; широта Санкт-Петербурга , радіус Землі 6370км.

Відповідь: v=232м/с, а=0,0169м/с².

Задача 7.9. Вал радіусом R=10см приводиться в обертання гирею Р, підвішеною до нього на нитці. Рух гирі визначається рівнянням , де х – відстань від місця сходження нитки з поверхні вала, виражена в сантиметрах, t – час у секундах. Визначити кутову швидкість ω і кутове прискорення ε вала, а також повне прискорення а точки на поверхні вала в момент t.

Відповідь: ω=20t , ε=20 , .

Задача 7.10. Махове колесо радіусом R=0,5м обертається рівномірно навколо своєї осі; швидкість точок, що лежать на його ободі, дорівнює 2м/с. Скільки обертів за хвилину робить колесо?

Відповідь: п=38,2об/хв.

Практичне заняття №8

Тема: Плоскопаралельний рух твердого тіла. Складний рух точки та тіла

Програмні питання

Плоскопаралельний рух твердого тіла, рівняння руху. Визначення швидкості та прискорення точок плоскої фігури. Миттьовий центр швидкостей і прискорень.

Складний рух точки. Абсолютний, відносний і переносний рухи. Визначення швидкості й прискорення точки в складному русі. Прискорення Коріоліса. Складний рух твердого тіла. Додавання поступальних рухів. Додавання обертальних рухів навколо двох паралельних та перетинних осей.

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.13, л.14, л.15.

2. Курок В.П. Технічна механіка. Розділ: Кінематика: навч. посібник. – К., 2004. – 90 с., §§10 – 17.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§52 – 59.

4. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§59 – 65.

5. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§10.1 – 10.6, 12.1 – 13.3.

6. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986. – 448с.

 

Короткі теоретичні відомості

Плоскопаралельний рух твердого тіла. Плоскопаралельним рухом або плоским рухом твердого тіла називається такий рух, в якому всі його точки переміщаються паралельно деякій нерухомій площині. Такий рух спостерігається в багатьох механізмах і машинах, наприклад, рух шатуна в кривошипно-повзунковому механізмі, рух колеса, яке котиться по прямолінійній ділянці. Обертальний рух тіла можна розглядати частковим випадком плоскопаралельного руху.

Вивчаючи плоскопаралельний рух твердого тіла, достатньо розглянути рух його плоского перерізу. Оскільки положення плоскої фігури на площині визначається положенням двох її точок або положенням відрізка, який з'єднує дві точки цієї фігури, то рух плоскої фігури в її площині можна вважати рухом прямолінійного відрізка АВ у цій площині (рис.28).

У свою чергу положення відрізка АВ можна визначити через координати х_А, у_А точки А і кутом φ, який він утворює з віссю х. Довільно обрана точка А для визначення положення фігури називається полюсом.

Оскільки координати х_А, y_А і кут φ будуть змінюватися з часом, то для визначення положення тіла в будь-який момент часу треба знати залежності:

x_а=f₁(t), у_А=f₂(t), φ=f₃(t).

Ці рівняння називаються рівняннями плоскопаралельного руху тіла.

Швидкість будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі швидкості будь-якої іншої точки А, обраної за полюс, і швидкості точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (див. рис.29):

.

Величина швидкості  обчислюється за формулою:

v_MA=ω АМ.

Вектор  напрямлений перпендикулярно до АМ.

Прискорення будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі прискорення якої-небудь іншої точки, обраної за полюс, і прискорення точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (рис.30):

Скориставшись формулами для обертального руху, маємо:

При розв’язанні задач часто зручнішим є заміна вектора  його дотичною  і нормальною  складовими, де

=АМ·ε, =АМ·ω².

Вектор напрямлений перпендикулярно відрізку АМ у бік обертання, коли воно прискорене, і в протилежний бік, коли воно сповільнене. Вектор  напрямлений завжди вздовж відрізкаАМ, причому від точки М до полюса А (рис. 30).

Тоді дістанемо рівняння:

.

Миттьовим центром швидкостей фігури в плоскопаралельному русі називається така її точка, абсолютна швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Якщо, наприклад, у даний момент часу миттьовий центр швидкостей знаходиться в точці С (рис.31), то швидкості будь-яких інших точок А і В будуть перпендикулярні до прямих, які з'єднують ці точки з точкою С, і напрямлені в бік їх обертання, а їх модулі:

=ω·АС; =ω·ВС.

Отже, швидкість точки плоскої фігури дорівнює її обертальній швидкості навколо миттьового центра швидкостей С. Із рівності також виходить, що

,

тобто швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням до митьового центра швидкостей.

Складний рух точки. До цього часу ми розглядали рух тіла відносно однієї системи відліку. Але в механіці часто доводиться досліджувати рух точки або тіла відносно двох систем відліку. При цьому одна з них вважається умовно нерухомою, а друга рухається якимось чином по відношенню до першої. Такий рух точки або тіла називається складним.

Рух точки Мвідносно рухомої системи координат називається відносним. У цьому випадку ми умовно зупиняємо рухому систему відліку. Траєкторія, яку описує точка М у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість руху при цьому називається відносною швидкістю і позначається , прискорення – відносним прискоренням і позначається .

Рух рухомої системи відліку разом з точкою Мвідносно нерухомої системи називається для точки М переносним. Швидкість тієї незмінно зв’язаної з рухомими осямиточки, з якого в даний момент часу збігається точка М,називається переносною швидкістю точкиМу цей момент часу і позначається , а прискорення цієї точки – переносним прискоренням точки М і позначається .

Рух точки в рухомій системі координат по відношенню до нерухомої системи називаються абсолютним або складним. Траєкторія цьогоруху називається абсолютною траєкторією, швидкість– абсолютною швидкістю  і позначається ,прискорення–абсолютним прискоренням і позначається .

Абсолютна швидкість матеріальної точки у складному русі дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей:

= + .

Вектори ,  і  напрямлені по дотичних, проведених до відповідних траєкторій.

Абсолютне прискорення точки в складному русі дорівнює геометричній сумі трьох прискорень: відносного, яке характеризує зміну відносної швидкості точки у відносному русі; переносного, яке характеризує зміну переносної швидкості точки в переносному русі, і прискорення Коріоліса, яке характеризує зміну відносної швидкості точки в переносному русі й переносної швидкості точки у відносному русі.

.

Це твердження виражає теорему Коріоліса.

Величина  називається поворотним або коріолісовим прискоренням точки і характеризує зміну вектора відносної швидкості  у переносному русі й вектора переносної швидкості  у відносному русі:

.

Приклади розв’язання задач

Задача 1.Знайти рівняння руху шатуна стругального верстата, якщо кривошип обертається рівномірно: r – довжина кривошипа, L – довжина шатуна, ω₀ – кутова швидкість кривошипа (рис. 32).

Розв’язання

Шатун АВ=L виконує плоскопаралельний рух. Знайти рівняння його руху – означає визначити координати руху точки-полюса А(х_А, у_А), а також кут повороту точки В навколо полюса А, тобто φ=f(t). Як видно з ∆OAD, x_А=OD=r cosα, y_A=AD=r sinα. Оскільки кривошип ОА=r обертається рівномірно, то кут α дорівнює α=ω₀t.

Отже, рівняння руху шатуна: x_А=r cosω₀t, y_A=r sinω₀t.

Далі визначимо sinφ:

sin φ= = .

Звідки:

φ=arcsin( sinω₀t).

Задача 2.Колесо трактора радіусом R=0,8м котиться без ковзання по прямолінійній ділянці шляху, причому швидкість його центра О дорівнює v₀=4м/с. Визначити швидкість кінців вертикального і горизонтального діаметрів колеса та кутову швидкість колеса.

Розв’язання

За умовою задачі колесо трактора котиться без ковзання, тому швидкість у точці дотикання колеса до площини дорівнює нулю. Тому точка D є миттьовим центром швидкостей колеса (рис.33). Знаючи швидкість точки О, визначимо кутову швидкість колеса:

ω= (с^–1).

Використовуючи властивості миттьового центра швидкостей, визначаємо модулі швидкостей точок А, В та С колеса:

;

;

.

Вектори швидкостей точок А, В і С перпендикулярні до прямих, які сполучають ці точки з миттьовим центром швидкостей (див. рис. 33).

Задача 3.У гідравлічній турбіні вода з напрямного апарата попадає в робоче колесо, що обертається, лопатки якого поставлені з запобіжною метою проти входу води з ударом так, щоб відносна швидкість  дотикалась до лопатки. Знайти відносну швидкість частинки води на зовнішньому ободі колеса (у момент входу), якщо її абсолютна швидкість при вході =15м/с, кут між абсолютною швидкістю і радіусом α=60⁰, радіус входу R=2м, частота обертання колеса n=30об/хв (рис.34).

Розв’язання

Для визначення відносної швидкості частинки води М на зовнішньому ободі колеса скористаємося тим, що відносна швидкість  – це вектор, який дорівнює геометричній сумі двох векторів: вектора абсолютної швидкості  і вектора, що дорівнює за величиною переносній швидкості , але протилежного їй за напрямком:

.

Знайдемо спочатку переносну швидкість . Переносним рухом частинки води М є обертальний рух колеса навколо осі О з кутовою швидкістю:

=π (с^-1).

Отже, переносна швидкість точки М дорівнює:

(м/с).

Вона напрямлена перпендикулярно до радіуса ОМ у бік обертання. Відклавши в протилежну сторону вектор – , за правилом паралелограма додамо швидкості  і – . Відносна швидкість точки М напрямлена по діагоналі побудованого на цих векторах паралелограма.

Модуль її визначається формулою:

Задача 4.Вертикальний підйом гелікоптера проходить згідно рівняння z=0,25t², де t виражено в секундах, z – в метрах. При цьому рівняння обертання гвинта має вид: φ=3t², де t –в секундах, φ – в радіанах. Визначити абсолютну швидкість та прискорення точки гвинта, розташованої на відстані R=0,5м від вертикальної осі обертання, в кінці 5секунди.

Розв’язання

Зв’яжемо рухому систему відліку з корпусом гелікоптера, а нерухому – із Землею. Абсолютний рух точки гвинта є складним. Він складається з руху гвинта, який обертається навколо вертикальної осі, й руху у вертикальному напрямку разом з корпусом гелікоптера. Обертання гвинта навколо його осі є відносним рухом. Переносним рухом є поступальний рух корпуса гелікоптера вертикально вгору.

Застосуємо теорему про додавання швидкостей у складному русі (рис.35,а):

.

Переносна швидкість точки М гвинта дорівнює швидкості тієї точки корпуса, яка збігається в даний момент часу з точкою гвинта. У поступальному русі корпуса швидкості всіх його точок однакові. Їх модуль визначиться з рівняння його поступального руху вертикально вгору z=0,25t²:

v_пер=z^/ =(0,25t²) ^/ =0,5t.

При t=5с :v_пер=0,5·5=2,5м/с.

Для визначення відносної швидкості точки знаходимо кутову швидкість гвинта:

ω_від=φ^/=(3t²) ^/ =6t.

При t=5с: ω_від=6·5=30рад/с.

Лінійна відносна швидкість точки визначається із формули:

v_від=Rω_від=0,5·30=15(м/с).

Оскільки переносна та відносна швидкості взаємно перпендикулярні, то абсолютна швидкість точки буде діагоналлю прямокутника, побудованого на цих швидкостях. Її модуль дорівнює:

.

Для визначення прискорення застосуємо теорему Каріоліса (рис.35 ,б):

.

Зазначимо, що оскільки переносний рух є поступальним, то:

.

Тоді:

Переносне прискорення точки М гвинта дорівнює прискоренню тієї точки корпуса, яка збігається в даний момент з точкою гвинта.

Прискорення всіх точок корпуса однакові й визначаються:

а_пер=v^/_пер=(0,5t) ^/ =0,5м/с².

Відносне прискорення точки М гвинта визначається як:

,

де  – нормальне прискорення у відносному русі;  – дотичне прискорення у відносному русі.

;

Оскільки ,

то .

Вектори , ,  взаємно перпендикулярні, тому абсолютне прискорення зображається діагоналлю прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 35, б). Його модуль:

.

Питання для самоконтролю

1. Який рух називається плоскопаралельним? Навести приклади.

2. Рівняння плоскопаралельного руху.

3. Розкладання руху плоскої фігури на поступальний (переносний) і обертальний (відносний).

4. Як визначаються швидкості та прискорення точок тіла у плоскопаралельному русі?

5. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що їх з’єднує.

6. Миттьовий центр швидкостей і способи його визначення в різних випадках.

7. Як визначити швидкості точок плоскої фігури, знаючи положення миттьового центра швидкостей?

8. Миттьовий центр прискорень та його визначення.

9. Який рух точки або тіла називається складним? Навести приклади.

10. Дати означення абсолютному, відносному та переносному рухам. Навести приклади.

11. Сформулювати теорему про додавання швидкостей у складному русі. Довести її.

12. Сформулювати та довести теорему про додавання прискорень у складному русі (теорему Коріоліса).

13. Як визначається величина і напрямок прискорення Коріоліса?

14. В яких випадках прискорення Коріоліса дорівнює нулю?

---

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 1864; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!