МОДУЛЬ «ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ТА МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ»
Практичне заняття №9
Тема: Розв’язання першої (прямої) задачі динаміки матеріальної точки
Програмні питання
Завдання динаміки, основні її поняття та визначення. Закони динаміки. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в координатній, натуральній та векторній формах. Дві задачі динаміки матеріальної точки. Розв’язання першої задачі.
Література
1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.26.
2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§73–78.
3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§66–71.
4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§14.1 – 15.2.
5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986.–448с.
Короткі теоретичні відомості
Динамікою називається розділ механіки, в якому рух матеріальних тіл вивчається з урахуванням сил, що діють на них.
У кінематиці розглядаються три способи задання руху точки: векторний, координатний і натуральний. У зв’язку з цим, базуючись на другому законі динаміки, виводяться диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній та натуральній.
Рівняння у векторній формі. Із кінематики відомо, що рівняння руху точки у векторній формі має вигляд:
|
|
|
,
де 
– радіус-вектор, який визначає положення точки в будь-який момент часу.
Прискорення точки дорівнює:
Підставляючи це значення у формулу для визначення сили, маємо:
.
Ця рівність називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі. Якщо на точку діє декілька сил, то:
Рівняння в координатній формі. Рух точки в прямокутних декартових координатах задається рівняннями:
Знайдемо рівняння, які пов’язують координати x, y, z цієї точки і силу (або сили), що діє на неї. Ці рівняння дає другий закон динаміки.
Розглянемо матеріальну точку, яка рухається під дією сил 
, 
, ..., 
по відношенню до інерціальної системи відліку Oxyz. Проектуючи обидві частини рівності 
на осі x, y, z і враховуючи, що 
, 
та 
, дістаємо:
або, позначаючи другі похідні за часом двома штрихами, маємо:
Це і є диференціальні рівняння руху точки в прямокутних декартових координатах.
Оскільки діючі на точку сили можуть залежати від часу t, від координат x, y, z і від швидкості, тобто vx=x', vy=y', vz=z', то в загальному випадку права частина кожного рівняння може бути функцією всіх цих змінних, тобто, t, x, y, z, x', y', z' одночасно.
Рівняння в натуральній формі. Для того щоб дістати ці рівняння, спроектуємо обидві частини рівності 
на осі натурального тригранника Мτnb, тобто на дотичну Мτ до траєкторії точки, головну нормаль Мn, напрямлену в бік угнутості траєкторії, і бінормаль Мb. Тоді, враховуючи, що:
|
|
|
дістаємо:
Ці рівняння, де 
, є диференціальними рівняннями руху точки в натуральній формі.
На основі диференціальних рівнянь руху матеріальної точки можна розв’язати такі основні задачі її динаміки:
1) перша задача (пряма): визначення величини і напрямку сили, яка діє на точку, знаючи масу точки і закон її руху;
2) друга задача (обернена, основна): знаходження закону руху точки, якщо відомі маса точки і сили, що діють на неї.
Розглянемо загальну методику розв’язання першої задачі динаміки точки. Воно здійснюється у такій послідовності:
1) диференціювання двічі за часом функцій, які виражають кінематичний закон руху точки;
2)підставлення результатів диференціювання у відповідні диференціальні рівняння й отримання з них значень проекцій сил;
3) визначення модуля сили і косинусів кутів, які визначають напрямок сили (за формулами, відомими із векторної алгебри).
Приклади розв’язання задач
Задача 1.Матеріальна точка m=1кг здійснює рух згідно рівнянь: x=2t2+3, y=t3+1, z=t2–2, причому координати точки виражені в метрах, час – в секундах. Визначити величину та напрямок сили, яка діє на точку в момент часу t=1c.
|
|
|
Розв’язання
Визначимо проекції вектора швидкості точки на осі координат:
; 
; 
.
Тепер визначимо проекції вектора прискорення точки на осі координат:
; 
; 
.
У момент часу t=1c маємо ах=4м/с2, ау=6м/с2, аz=2м/с2.
Тепер визначимо проекції сили на координатні осі:
Fx=max=1·4=4(H), Fy=may=1·6=6(H), Fz=maz=1·2=2(H).
Знайдемо величину та напрямок сили:
(Н);
cos( 
,ˆx)= 
= 
;
cos( ,ˆy)= 
= 
;
cos( ,ˆz)= 
= 
.
Задача 2.Кулька, маса якої m=0,1кг падає під дією сили ваги і при цьому зазнає опір повітря. Рух кульки виражається рівнянням: 
, де х – у метрах, t– у секундах, вісь Oх напрямлена по вертикалі вниз. Визначити силу опору повітря R, та виразити її як функцію швидкості кульки.
Розв’язання
З умови задачі відомо, що кулька рухається вздовж однієї осі Oх під дією сил 
і 
(рис.36). Запишемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в проекції на вісь Oх:
.
Тоді: 
, де 
.
Отже, для визначення сили опору повітря R, треба знати проекцію вектора прискорення 
на вісь Oх:
; 
.
Підставимо в рівняння значення , маємо:
(H).
Виразимо силу опору як функцію швидкості:
|
|
|
(Н).
Питання для самоконтролю
1. Що вивчає динаміка? Які її завдання?
2. Сформулювати перший закон динаміки. Яка система відліку називається інерціальною?
3. Сформулювати другий (основний) закон динаміки? В якій системі відліку він справедливий?
4. Сутність третього закону динаміки.
5. Сформулювати принцип незалежності дії сил.
6. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній і натуральній.
7. Дві задачі динаміки матеріальної точки. Сутність першої задачі.
8. Послідовність розв’язання першої задачі динаміки точки.
Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 702; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!