Тема: Теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної точки та механічної системи. Теорема про рух центра мас системи

Програмні питання

Робота сили, потужність, кінетична енергія точки. Теорема про зміну кінетичної енергії точки. Кінетична енергія системи. Визначення кінетичної енергії тіла в поступальному, обертальному і плоскопаралельному рухах. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.

Теорема про рух центра мас механічної системи. Диференціальні рівняння руху системи. Закон збереження руху центра мас.

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.30, л.31.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Высшая школа, 1986. – 461 с., §§ 89, 121 – 123, 106 – 107.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Наука, 1983. – 400 с., §§ 89, 108 – 110.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§ 21.2, 17.8, 21.9, 21.11.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Наука, 1986. – 448 с.

Короткі теоретичні відомості

Для характеристики дії сили на тіло на деякому його переміщенні вводиться поняття роботи сили.

Елементарною роботою сили , прикладеної в точці М (рис.47), називається скалярна величина, що дорівнює:

де F_τ – проекція сили  на дотичну Mτ до траєкторії точки М, напрямлену в бік переміщення цієї точки (або проекція  на напрямок швидкості  точки М); ds – модуль елементарного переміщення точки М

Із рис.47 бачимо, що , де α – кут між  і Mτ. Тоді дістанемо, що

Якщо кут α гострий, то робота додатна, якщо α=0, то .

Якщо кут α тупий, то робота від'ємна. При α=180⁰ .

Якщо α=90⁰, тобто якщо сила напрямлена перпендикулярно переміщенню, то елементарна робота сили дорівнює нулю.

Робота сили на будь-якому кінцевому переміщенні M₀M₁ (див. рис.47) обчислюється як границя інтегральної суми відповідних елементарних робіт:

.

Отже, робота сили на будь-якому переміщенні M₀M₁ дорівнює взятому вздовж цього переміщення інтегралу від елементарної роботи.

Якщо сила  стала ( =const), то, позначаючи M₀M₁ через s₁, дістанемо:

Одиницею вимірювання роботи в системі СІ є 1Джоуль (1Дж = 1Нּм= 1кгּм²/с²).

Потужність. Потужністю називається величина, яка визначає роботу, що здійснює сила за одиницю часу. Якщо робота виконується рівномірно, то

де t₁ – час, за який виконана робота A.

У загальному випадку:

Отже, потужність дорівнює добутку дотичної складової сили на швидкість.

Одиницею вимірювання потужності в системі СІ є 1Ват (1Вт = 1Дж/с). У техніці за одиницю потужності часто вживають кінську силу (1к.с.), яка дорівнює 736Вт.

Роботу, виконану машиною, можна вимірювати добутком її потужності на час роботи. Звідси 1кіловат-година (1кВтּг = 3,6ּ10⁶Дж).

Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна величина , яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Одиниця вимірювання її та ж, що й роботи, тобто в системі СІ – 1Дж.

Теорема про зміну кінетичної енергії точки: зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт всіх сил, що діють на точку, на тому ж переміщенні:

Кінетичною енергією системи називається величина Т, яка дорівнює сумі кінетичних енергій всіх точок системи:

Кінетична енергія тіла у поступальному русі дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості його центра мас:

Кінетична енергія тіла у обертальному русі дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат його кутової швидкості:

У плоскопаралельному русі кінетична енергія тіла дорівнює енергії поступального руху зі швидкістю центра мас та енергії обертального руху навколо центра мас:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи: зміна кінетичної енергії системи на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи:

Диференціальні рівняння руху системи. Для k-ої матеріальної точки системи масою m_k, яка має прискорення , маємо:

Аналогічний результат будемо мати для будь-якої точки системи, отже:

де  і  – рівнодійні всіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на точку.

Ці рівняння є диференціальними рівняннями руху системи у векторній формі ( ).

Теорема про рух центра мас системи: добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему:

Або ще теорема звучить так: центр мас системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і до якої прикладені всі зовнішні сили системи..

Проектуючи цю рівність на координатні осі, дістанемо:

Це є диференціальні рівняння руху центра мас системи.

Із теореми маємо такі висновки:

1.Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

 то

=0 або .

2.Якщо сума всіх зовнішніх сил не дорівнює нулю, але сума їх проекцій на якусь вісь (нехай Ox) дорівнює нулю:

 тоді

 або .

Ці результати виражають закон збереження руху центра мас системи.

Застосовуючи теорему про рух центра мас системи, можна знайти закон руху її центра мас, якщо відомі зовнішні сили, і навпаки, визначити головний вектор зовнішніх сил, знаючи закон руху центра мас.

 

 

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Пружина має в ненапруженому стані довжину 0,2м. Сила, необхідна для зміни її довжини на 0,01м дорівнює 2Н. З якою швидкістю v вилетить з труби кулька масою 20г, якщо пружина була стиснута до довжини 0,1м? Трубка розташована горизонтально.

Розв’язання

На кульку, яку розглядаємо як матеріальну точку, діють такі сили: сила пружності пружини , сила ваги  і реакція стінок  (рис. 48). Оскільки рух кульки відбувається по горизонталі, то при його вивченні врахуємо тільки рушійну силу, якою є сила пружності F= –cx, де с= =200Н/м – коефіцієнт жорсткості пружини, х – величина стиснення.

Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії:

,

де А – робота сили пружності на переміщенні М₀М, v₀ – швидкість кульки в положенні М₀, v – її швидкість у положенні М.

Оскільки в положенні кульки М₀  х=0,1м, а в положенні М х=0, то роботу сили пружності знайдемо:

.

Враховуючи, що v₀=0, дістанемо:

,

звідки:

.

Задача 2. При підході до станції потяг йде зі швидкістю 10м/с під ухил, кут якого α=10⁰. У деякий момент часу машиніст починає гальмувати потяг. Опір гальмуванню становить 0,2 ваги потяга. Визначити, на якій відстані й через який час від початку гальмування поїзд зупиниться.

Розв’язання

Потяг розглядаємо як матеріальну точку, на яку діють: сила ваги потяга , нормальна реакція дороги , сила опору від гальмування  (рис. 49).

Для визначення гальмівного шляху s застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії точки:

;

.

Враховуючи, що потяг зупиняється (v=0), дістанемо:

.

Звідки:

.

Для визначення часу t гальмування скористаємося теоремою про зміну кількості руху точки, обравши напрямок руху потяга за напрямок осі х:

mv_x – mv_0x=SS_kx.

Оскільки сили, які діють на потяг, сталі, то:

.

Враховуючи, що v_x=0, v_0x=v₀=10м/с, дістанемо:

– mv₀=mgt(sinα – 0,2),

звідки

.

 

Задача 3. Візок масою М і довжиною l стоїть на рейках. На лівому кінці візка знаходиться людина масою m, яка в початковий момент часу нерухома, а потім переміщається на правий кінець візка. Визначити величину і напрямок переміщення візка, нехтуючи тертям коліс візка і рейок, а також опором повітря.

Розв’язання

Будемо розглядати візок з людиною як систему. Рух вздовж координатної осі 0х відбувається, як показано на рис.50.

При відсутності тертя і сили опору повітря зовнішніми силами, які діють на систему, є сили ваги людини і візка, а також нормальні реакції. Тому сума проекцій зовнішніх сил на горизонтальну вісь 0х дорівнює нулю. Звідси v_с=const. Оскільки в початковий момент часу система перебувала в спокої, то v_с=0, а значить х_с=const.

За таких умов справедливе рівняння:

МΔх₁+mΔх₂=0,

де Δх₁ переміщення візка, Δх₂ – переміщення людини.

Зобразимо початкове і кінцеве положення системи. Оскільки центр мас системи зберігає своє положення, то при переміщенні людини візок повинен переміститись вліво (рис. 50).

Для простоти обчислення домовимось, що переміщення візка і людини відбулося в одному напрямку. Тоді абсолютне переміщення візка Δх₁=х, а переміщення людини Δх₂=х+l.

Отже, маємо:

Мх+m(x+l)=0,

звідки переміщення візка:

.

Знак „мінус” показує, що фактичне переміщення візка протилежне тому, що вказано на рисунку.

 

Задача 4. По похилій площині KL призми DEKL рухається вантаж А масою т_А=8кг, який приводить у рух за допомогою неростяжної невагомої мотузки вантаж В масою m_В=5кг. Знайти переміщення призми DEKL масою m_пр=14кг по ідеально гладенькій площині, якщо вантаж А перемістився по похилій площині KL вниз на 1м. У початковий момент система перебувала в спокої (рис. 51).

Розв’язання

Покажемо на рисунку всі зовнішні сили, прикладені до матеріальної системи, яка складається з призми та двох вантажів. Зовнішніми силами є:  – сила ваги призми,  – сила ваги вантажу А,  – сила ваги вантажу В і  – сумарна нормальна реакція горизонтальної площини (див. рис.51). Оскільки горизонтальна площина ідеально гладенька, то сила тертя ковзання між нею і призмою відсутня. Напрямимо вісь х вздовж горизонталі вправо і скористаємось теоремою про рух центра мас механічної системи в проекції на цю вісь:

.

Оскільки всі зовнішні сили перпендикулярні до осі х, то .

Тоді , а .

У початковий момент часу система перебувала в спокої, тому С₁=0 і . Звідси випливає, що mх_с=С₂, тобто абсциса центра мас системи, незалежно від переміщень окремих мас, які входять у систему, є величиною сталою. Тоді можна записати:

m_АΔх_А+m_ВΔх_В+m_прΔх=0,

де Δх_А, Δх_В – переміщення вантажів А і В відповідно; Δх – шукане переміщення призми по горизонтальній площині.

Дістанемо:

8(Δх+1∙cos60⁰)+5(Δх+1)+14Δх=0

або

.

Знак „мінус” показує, що призма переміститься в бік, протилежний додатному напрямку осі х, тобто вліво.

Питання для самоконтролю

1. Дати означення елементарній роботі. Формула визначення та її аналіз.

2. Як визначається робота на кінцевому переміщенні точки?

3. Що таке потужність? За якою формулою вона визначається? Одиниці її вимірювання.

4. Що називається кінетичною енергією точки? Одиниці її вимірювання.

5. Сформулювати і довести теорему про зміну кінетичної енергії точки.

6. Як визначається кінетична енергія поступального, обертального і плоскопаралельного рухів тіла?

7. Сформулювати і довести теорему про зміну кінетичної енергії системи.

8. Записати диференціальні рівняння руху системи.

9. Сформулювати та довести теорему про рух центра мас системи.

10. Записати диференціальні рівняння руху центра мас системи.

11. Викласти закон збереження руху центра мас.

---

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 2019; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!