Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 18Следующая ⇒

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l— ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

Поусловию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0и х=l)непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

y(0) =y(l)=0. (220.2)

В пределах «ямы» (0£x£l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

y(х)=Аsinkx+Bcoskx.

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда y(x)=Asinkx. (220.5)

Условие y(l)=Asinkl=0 (220.2) выполняется только при kl = np, где p — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

k= np/l. (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

Е_n=n²p²h²/2ml²(n=1,2,3,...), (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия E_nчастицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.Квантованные значения энергии E_nназываются уровнями энергии,а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне £„, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (220.5) значение kиз (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А=Ö2/1, а собственные функции будут иметь вид

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n=1,2,3, приведены на рис. 297, а. На рис. 297, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |y_n(x)|² = y_n(x) y*_n(x) для n=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

Например, для электрона при размерах ямы l=10^-1 м (свободные электроны

в металле) DEn»10^-35n Дж»10^-16nэВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10^-10 м), то для электрона DEn»10^-17n Дж»10²n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная p²h²/(2ml²). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dx частицы в «яме» шириной l равна Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)²/(2m)=h²/(2ml²). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) DE_n/E_n»2/n<<1, т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если nочень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора(1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия,имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v<<cв формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 588; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!