Функциональный подход к поиску решений задач:использование ограниченности и чётности.
Использование ограниченности функции
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Если существует число C такое, что для любого 
выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .
Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.
Пример Решите уравнение
sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)
Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x3 + 2х2 + 1) ≤ 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при 
.
При 
, 
, т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет .
Ответ: Ø.
Использование четности функции
Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:
1) 
,
2) f (–x) = f (x).
График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.
Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
2) f (–x) = –f (x).
Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат.
Пример Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2x8 – 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5
иметь 5 корней?
|
|
|
Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функция четная, поэтому, если x0 – корень данного уравнения, то -x0 – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ: не может.
Интеграция различных разделов школьного курса математики при решении неравенств.
Олимпиадные задачи. Задачи на разрезания и перекраивания.
Как правило, к олимпиадным задачам относятся так называемые «нестандартные» задачи, т.е. такие алгоритмы решения, которых явно не определены. К таким задачам относятся:
1. Стандартные по фабуле задачи школьной математики, но нестандартные по формам решения.
2. Нестандартные по фабуле и содержанию задачи, требующие анадиза предложенных ситуаций.
3. Олимпиадные и тематические задачи. Это задачи на определенную тему, не содержащуюся в программе школьного курса математики, но обязательно присутствующие в программе подготовки школьников к олимпиадам:
-Принцип Дирихле
-Инварианты
-игры
-стратегии
-графы
-процессы и операции и т.д.
Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале, также они развивают воображение.
|
|
|
Ученики смогут разрезать фигуры на части, необходимые для составления той или иной фигуры, использовать их св-ва и признаки, что помогает лучшему усвоению знаний, научиться доказывать, что площади фигур равны.
Данный задания не имеют общего метода решения, что обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умение думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть они развивают мыслительные навыки в самом их широком понимании.
1. Задачи на клетчатой бумаге. (Алгоритм:найти центр симметрии фигуры, после выбираем точку и симметричную ей, проводим звенья и тд пока ломаная не замкнется)
2. Пентамино: Фигуры домино, тримино, тетрамино (игру с такими фигурками называют тетрис), пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух оди-наковых квадратов можно составить только одну фигуру — домино. Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными спо-собами еще один квадрат. Получится две фигуры тримино.
Разбиение плоскости.
|
|
|
5. Танграм. Составить из имеющихся фигур какую-то заданную фигуру (напри-мер человечка, цветок и т.д.)
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 353; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!