Виды тел вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус.
Цилиндр - фигура, которая получается путем врашения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
1. 
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.
2. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.
3. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
4. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
5. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.
6. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
7. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
8. Равностороний цилиндр – цилиндр у которого образующая равна диаметру основания.
Sбок.=2πRhV=πR2h
Конус – фигура, которая получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
КатетаSO, называемого осью конуса, S называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже SA – образующая конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту.
|
|
|
Равностороний конус – это конус осевое сечение которого есть равностороний треугольник.
Sбок.=πRl, где R-радиус основания, l-длина образующей.
V=1/3 Sосн.h=1/3 πR2h
Усеченный конус - называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.
Боковая поверхность усеченного конуса Sб = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.
Полная поверхность находится по формуле
Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).
Площади поверхностей тел вращения
Цилиндр
Теорема.Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (Sбок.=2πRh )
Док-во
Пусть Рnи Hсоответственно периметр основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда площадь боковой поверхности этой призмы равна Sбок=PnH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда периметр Pnстремится к длине окружности C=2πR, а H- неизменяется. Таким образом площадь боковой поверхности призмы стремится кчислу 2πRH, т.е. к площади боковой поверхности цилиндра.
|
|
|
Sп.п.= 2πRH+2πR2
Конус
Теорема.Площадь боковой поверхности конуса равно произведению половины длины окружности основания на длину образующей (Sбок.=πRl, где R-радиус основания, l-длина образующей).
Док-во
Пусть Pn и l- соответственно периметр основания и длина апофемы правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна Sбок.пов.= 
Pnl, предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда периметр Pn стремится к длине окружности 2πR, а длина апофемы к длине образующей конуса. Значит площадь боковой поверхности вписанной пирамиды стремится к πRl, т.е. к площади боковой поверхности конуса.
Усеченный конус
Боковая поверхность усеченного конуса Sб = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.
Полная поверхность находится по формуле
Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).
Объемы тел вращения.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. V=πR2H
Док-во
Пусть Snи Hсоответственно площадь основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда объем этой призмы равен Vn=SnH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда Snстремится к площади окружности S=πR2, а H- неизменяется. Таким объем призмы стремится кчислу πR2H, т.е. к объему цилиндра.
|
|
|
Объем конуса
Объем конуса равен одной третьи произведения площади основания конуса на его высоту.V=1/3 Sосн.h=1/3 πR2h
Док-во
Пусть Sn и h- соответственно площадь основания и высота правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Объем этой пирамиды равна V= 
nh, предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда площадьSn стремится к площади окружности πR2, а h-высота остается неизменной. Значит объем вписанной пирамиды стремится к 1/3 πR2h, т.е. к объему конуса.
Объем усеченного конуса
V= 
πh(R2+Rr+r2)
Объем шара
V= 
R3
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 5028; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!