Плоские фермы. Способы расчета

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 15Следующая ⇒

Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными.

Плоские фермы могут воспринимать нагрузку, приложенную только в их плоскости, и закрепляются опорными связями, лежащими в этой же плоскости. Пространственные фермы способны воспринимать нагрузку, действующую в любом направлении. Примером фермы может служить башенная конструкция (кран, опоры высоковольтных передач и т. п.).

Если ферма в целом под действием сил, приложенных к ее узлам, находится в равновесии, то и любой из ее узлов также будет находиться в равновесии, т. е. внешняя нагрузка, действующая на узел, и внутренние усилия в стержнях, сходящихся в данном узле, взаимно уравновешиваются.

Простейшая плоская ферма – треугольная, состоящая из трёх стержней и трёх узлов.

Рассмотрим принципы вычисления внутренних усилий в стержнях плоской фермы. При действии на ферму сосредоточенных сил, приложенных в узлах (шарнирах), в ее прямолинейных стержнях возникают продольные (растягивающие или сжимающие) силы.

Рис. 3.24

Растяжением или сжатием стержней называется такой вид деформации, при которой все внешние нагрузки или их равнодействующие действуют вдоль оси стержня (осевые нагрузки) (рис. 3.24, а).

Для их вычисления используется метод сечения. Мысленно рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной к его оси, проведём произвольное сечение z (рис. 3.24, б), и приложим к сечению неизвестную силу , направленную по внешней нормали к сечению.

Равновесие отсеченной части возможно тогда, когда силы, действующие на отсеченную часть, равны друг другу по модулю и направлены в противоположные стороны. Запишем аналитическое условие равновесия для сечения z:

, , .

Следовательно, при растянутом состоянии стержней усилия в отсеченном стержне направлены от узла вдоль стержня – это состояние обычно принимается за положительное. На рис. 3.25 показаны направления усилий и в стержне АВ, растянутом силами и .

Рис. 3.25

При сжатом состоянии стержней усилия направлены от центра стержня к узлам.

При расчете фермы определяют реакции внешних наложенных связей и внутренние усилия в стержнях фермы.

Для расчета внутренних усилий в стержнях используют два способа: способ вырезания узлов и способ Риттера (или способ моментных точек).

Способ вырезания узлов. Мысленно вырезают узел фермы: указывают заданные силы, приложенные к этому узлу; действие отброшенной фермы заменяют усилиями в стержнях, присоединенных к этому узлу. Усилия направляют от узла к центрам стержней, т.е. считают их растянутыми, если при расчете получают знак минус – это означает, что стержень сжат. При вырезании узла получают систему сходящихся сил. Для плоской системы сходящихся сил система уравнений равновесия состоит из двух уравнений:

В связи с этим последовательность вырезания узлов в плоской ферме определяется числом неизвестных усилий, приложенных к этому узлу, – их должно быть не больше двух.

Способ Риттера (или способ моментных точек). Ферму мысленно делят сечением на две части и рассматривают равновесие одной из частей: указывают заданные силы, приложенные к этой части; действие отброшенной части фермы заменяют усилиями в стержнях, через которые провели сечение. Усилия направляют от узла к центрам стержней (в сторону к отброшенной части), т. е. считают их растянутыми. Таким способом получаем произвольную плоскую систему сил, равновесие которой определяется системой из трех уравнений, соответственно, сечение следует проводить не более чем через три неизвестных стержня. При составлении уравнений используют уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия неизвестных усилий – эти точки называют моментными точками, или точками Риттера.

Содержание контрольных работ для студентов на тему «расчет плоских ферм» дано в приложении (контрольная работа 3, задача 2).

Пример 3.6. Рассмотрим плоскую ферму, показанную на рис. 3.26.

Рис. 3.26

Дано: P₁ = 10 кН; P₂ = 21 кН; P₃ = 15 кН; L = 2 м.

Требуется:

· вычислить реакции опор от заданной нагрузки;

· проверить правильность полученных результатов;

· вычислить усилия в стержнях фермы способом вырезания узлов;

· проверить правильность полученных результатов методом сплошных сечений;

· проанализировать полученные результаты.

Решение:

Из геометрии задачи вычислим значение косинусов и синусов углов, образованных стержнями в узлах фермы (рис. 3.27):

Рис. 3.27

Составим систему уравнений равновесия:

Решаем эту систему:

Проверка:

Получили: R_B = 33,5 кН, Н_A=23,5кН, V_A=36 кН.

Вычисление усилий в стержнях (способ вырезания узлов).

Последовательно вырезаем узлы и составляем условия равновесия для системы сходящихся сил: внешних сил и усилий в стержнях, приложенных к этому узлу.

При аналитическом способе решения считаем все стержни в растянутом состоянии (усилие направляем от узла к центру стержня).

При геометрическом способе показываем верное направление усилий.

Узел А (рис. 3.28)


а	б
Рис. 3.28

Система уравнений равновесия:

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (построение выполняется в масштабе рис. 3.28, б).

Узел В (рис. 3.29)


а	б
Рис. 3.29

Система уравнений равновесия:

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.29, б)

Узел D (рис.3.30)


а	б
Рис. 3.30

Система уравнений равновесия:

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.30, б).

Узел Е (рис. 3.31)


а	б
Рис. 3.31

Система уравнений равновесия:

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.31, б).

Узел F (рис. 3.32)


а	б
Рис. 3.32

Осталось вычислить S₉. Для этого достаточно составить одно уравнение:

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.32, б).

Способ Риттера.Проверим правильность расчета усилий в стержнях 4, 5 и 6. Для этого рассекаем ферму сечением, проходящим через эти три стержня, на две части и рассмотрим равновесие правой части фермы
(рис. 3. 33).

Рис. 3.33

Составим систему уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил (уравнения моментов составляем относительно точек Риттера – D и E):

здесь ось y не перпендикулярна прямой (DE).

Отсюда

Значения усилий в стержнях, рассчитанные разными способами, совпадают.

Ответ: в (кН)

H_A	V_A	R_B	S₁	S₂	S₃	S₄	S₅	S₆	S₇	S₈	S₉
23,5	36	33,5		11		39		– 11		10,5

Вывод: стержни 2, 4, 7, 8 растянуты;

стержни 1, 3, 5, 6, 9 сжаты.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 2219; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 10 111213 14 15 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!