Основная форма условий равновесия произвольной плоской системы сил

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 15Следующая ⇒

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на любые две ортогональные оси (например, оси и ) были равны нулю и сумма моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю:

, , .

Точка А называется точкой приведения или моментной точкой.

Содержание контрольных работ для студентов на тему «уравнения равновесия плоской системы сил» дано в приложении (контрольная работа 3, задача 1).

Пример 3.1. Вычислить реакции в консольной балке. Балка нагружена, как показано на рис. 3.18, а. Дано: кН/м, м.

а
б
Рис. 3.18

Решение. Отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.18, б). Распределенную нагрузку интенсивностью заменим равнодействующей:

кН.

Запишем основную форму уравнений равновесия и решим их:

, ;

кН×м;

, , кН.

Проверка: .

Ответ: кН; кН×м.

Пример 3.2. Вычислить реакции в консольной балке. Балка нагружена, как показано на рис. 3.19, а. Дано: кН/м, м.

а б

Рис. 3.19

Решение. Отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.19, б). Рассмотрим равновесие балки АВ. Распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой Q:

кН.

Линия действия делит отрезок, равный , в соотношении : (рис. 3.19, б).

Запишем уравнения равновесия и решим их.

, ; кН×м;

, ; кН;

Проверка: .

Ответ: кН, кН×м.

Пример 3.3. Для заданной консольной балки АВ (рис. 3.20) требуется:

- вычислить реакции опор наложенных связей;

- проверить правильность полученных результатов.

Рис. 3.20

Дано: P₁ = 20 кН; Р₂ = 10 кН; q = 9кН/м; L = 2 м; a = 30°.

Решение. Рассмотрим равновесие консольной балки АВ. Для этого: укажем все заданные силы; освободим балку от связей, заменив их действия реакциями (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Связь – жесткая заделка имеет три реакции: H_A, V_A, M_A.

Прямоугольно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой

кН.

Силу разложим на две составляющие, для которых она является равнодействующей: и , где и .

Составим систему уравнений равновесия:

Решая эти уравнения, получим:

кН;

кН∙м.

Проверка (для проверки составляют уравнение, которое не использовалось при решении):

Ответ: H_A = 8,66 кН, V_A = 39 кН, M_A=120 кН∙м.

Вторая форма условий равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно двух любых точек приведения А и В и сумма проекций этих сил на ось, неперпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

, , .

За точки приведения принимают точки пересечения линий действий реакций опор. Вторую форму условий равновесия обычно применяют для вычислений реакций шарнирно опертых балок.

Пример 3.4. Вычислить реакции опор балки АВ, опертой на шарнирно-подвижную и шарнирно-неподвижную опоры, нагруженной, как показано на рис. 3.22, а. Дано: кН, Н/м, м, .

Решение. Используя метод сечения, отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.22, б).

а
б
Рис. 3.22

Распределенную нагрузку интенсивностью заменим равнодействующей: кН.

Разложим силу Р на составляющие и :

кН, кН.

За точки приведения примем точки на шарнирах балки, т. е. точку А (точка пересечения линий действий реакции опор и ) и точку В (точка пересечения линий действий реакции опор и ). Запишем уравнения равновесия:

, ,

кН;

, ,

кН;

, , кН.

Проверка: .

Ответ: кН, кН; кН.

Пример 3.5. Вычислить реакции опор балки АВ, опертой на шарнирно-подвижную и шарнирно-неподвижную опоры, нагруженной, как показано на рис. 3.23, а. Дано: кН, Н/м, м, .

Решение. Используя метод сечения, отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.23, б).

а б Рис. 3.23

Распределенную нагрузку интенсивностью заменим равнодействующей: кН.

Разложим силу Р на составляющие и :

кН, кН.

За точки приведения примем точки С (точка пересечения линий действий реакции опор и ) и В (точка пересечения линий действий реакции опор и ). Запишем уравнения равновесия и решим их:

, ;