Линейная функция. Определение, примеры.
Линейная функция, функция вида у = kx + b. Основное свойство Л. ф.: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Графически Л. ф. изображается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k; (угловой коэффициент) равен тангенсу угла, образованного прямой с осью Ox( k = tg j, см. рис.), а b — отрезку, отсекаемому прямой на оси Оу. При b = 0 Л. ф. называется однородной; её график изображает пропорциональную зависимость: у = kx. Л. ф. широко применяется в физике и технике для представления (нередко — приближённо) зависимостей между различными величинами. Рассматривают также Л. ф. многих переменных; однородные Л. ф. многих переменных называют линейными формами. Если и аргумент и функция суть векторы, то однородными Л. ф. являются линейные преобразования.
Пример.
Линейная функция.
Билинейная функция. Определение, примеры.
Билинейная функция - это функция двух аргументов t и u, которая при фиксированном значении t линейна по u и наоборот. Билинейный сплайн является двухмерным обобщением одномерного линейного сплайна и имеет те же достоинства и недостатки. Он составляется из билинейных функций, определенных на каждой ячейке сетки так, что в узлах сетки они принимают предписанные значения. Этот способ интерполяции хорош своей простотой и быстродействием. Основной недостаток - разрывность производной интерполирующей функции на границах ячеек сетки. Также можно отметить сравнительно невысокую точность такой интерполяционной схемы.
|
|
|
Матрица билинейной функции. Нахождение значения билинейной функции, если известна ее матрица.
Изменение матрицы билинейной функции и квадратичной формы при переходе к новому базису.
Квадратичные формы. Связь с билинейными функциями. Матрица квадратичной формы.
Квадратичная форма, форма 2-й степени от n переменных x1, x2,..., xn, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член которого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К. ф. при n = 2:
,
при n = 3:
,
где a, b,..., f — какие-либо числа. Произвольная К. ф. записывается так:
;
причём считают, что aij = aji. К. ф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид А (х) = 1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является К.ф. При замене переменных x1, x2,..., xn др. переменными y1, y2,..., yn, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф. Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на некоторые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф. к сумме квадратов (закон инерции). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.
|
|
|
При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида
где — число, комплексно сопряженное с xj. Если, кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет, когда ( ), то её называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся кдействительным К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 457; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!