Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть Ex и Ey – линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства :
1. А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;
2. А( х) = А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x) = f/(x).
Где f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b].
Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С[- , + ] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 1, заданное формулой:
|
|
|
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора - линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A) = r = dim( Im(A) ).
Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A) :Ker(A) = {x e X : A(X) =0 } . Ядро линейного оператора - линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается Def(A): d = Def(A) = dim ( Ker(A) ) .
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:
сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:
Def(A) + Rg(A) = n;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
|
|
|
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.
Матрица линейного оператора.
Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .
В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.
Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:
Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:
y = A· x,
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 416; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!