СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ. ВЗАИМОСВЯЗЬ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН.

 

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Ее формула такова:

, для простой.

, для взвешенной.

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)² =120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает квадратическая средняя:

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где – средняя величина; – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

 

 

ПОНЯТИЕ МОДЫ И МЕДИАНЫ.

В случаях, когда использование средней арифметической невозможно или нецелесообразно используются структурные средние: мода и медиана.

Мода - наиболее типичное, чаще всего встречаемое значение признака.

Мода – это варианта, которая наиболее часто встречается в данном ряду распределения, т.е. имеет наибольшую частоту.

 В случаях интервальных рядов с равными интервалами, модальным интервалом считается интервал с наибольшей частотой, а при неравных интервалах — интервал с наибольшей плотностью.

В интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

, где

 - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту, в данном примере это интервал 45-55, имеющий наибольшую частоту в ряде распределения 70),

 - величина модального интервала ( в нашем примере =55-45=10),

 - частота модального интервала,

 - частота интервала, предшествующего модальному,

  - частота интервала, следующего за модальным.

Пример 3

Возраст, лет (открытые интервалы)	Число рабочих (fi)
До 25	10
25-35	20
35-45	= 50
=45-55	= 70
55-65	= 30
Свыше 65	20
Итого	200

лет.

Т.е. чаще всего встречается возраст рабочих 48,3 лет.

 

Медиана - значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.

Ранжированным называется ряд распределения, построенный в прядке возрастания или убывания признака

При исчислении медианы интервального ряда сначала находится интервал, содержащий медиану. Медианному интервалу соответствует первый из интервалов, для которых накопленная сумма частот превышает половину общей совокупности наблюдений.

В интервальном ряду распределения медиана определяется по формуле:

, где

 - нижняя граница медианного интервала (в нашем примере это интервал 45-55, т.к. накопленная частота этого интервала близка по значению к полусумме накопленных частот)

 - величина медианного интервала,

 - полусумма накопленных частот (в нашем примере: ),

 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

- частота медианного интервала.

 

Возраст, лет (открытые интервалы)	Число рабочих (fi)	Накопленная частота
До 25	10	10
25-35	20	10+20=30
35-45	50	10+20+50=80=
= 45-55	=70	150
55-65	30	180
Свыше 65	20	200
Итого	200	-

47,9 лет. Т.е. половина рабочих имеет возраст до 47,9 лет, а половина выше.

 

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 586; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!