ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ І ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ
Нехай є два лінійних простори 
і 
. Якщо кожному елементу x простору поставлено у відповідність цілком певний елемент y із простору , то кажуть, що заданий оператор 
, який діє у просторі із значеннями в .
Означення. Оператор A називається лінійним, якщо для 
і для будь-яких чисел α1 і α2 виконується рівність 
.
Приклад.
.
Оператор діє в просторі 
. Будемо вважати, що K і φ – неперервні. Перевіримо умову лінійності:
З лінійності оператора випливають властивості:
1. 
;
2. 
.
Означення. Лінійний оператор 
називається неперервним в точці x0, якщо із збіжності будь-якої послідовності 
випливає, що відповідна послідовність значень оператора 
.Тут збіжність розуміється за нормою даного простору, тобто якщо при 
, то 
.
Теорема. Якщо лінійний оператор неперервний в точці x0, то він неперервний і в довільній точці довільного простору.
Доведення. Розглянемо довільну послідовність 
і покажемо, що 
. Розглянемо довільний елемент 
. Тоді в силу неперервності в x0 
. Використаємо лінійність: 
, тоді 
(при 
).
Означення. Лінійний оператор, який діє в лінійному просторі із значеннями в лінійному просторі 
називається обмеженим, якщо існує таке число 
, що для 
.
Теорема. Для того, щоб лінійний оператор був неперервним у будь-якій точці x, необхідно і достатньо, щоб він був обмеженим.
Доведення. Необхідність. Дано: 
– неперервний оператор. Доведемо обмеженість, тобто що 
, 
. Припустимо протилежне, що оператор необмежений. Це означає, що для 
.
|
|
|
Розглянемо елемент 
і оцінимо за нормою:
, 
; 
, 
, 
. Тоді, в силу неперервності, 
.
З іншого боку 
, не прямує до нуля, 
. Отримали суперечність.
Достатність. Дано, що оператор обмежений, тобто 
, 
. Доведемо, що для 
, 
.
; 
.
Теорему доведено.
Норма оператора.
Нехай маємо лінійний обмежений оператор: 
, 
.
Означення. Найменша з компонент 
, яка фігурує в умові обмеженості зветься нормою оператора A і позначається 
, 
.
По-іншому, число 
зветься нормою оператора, якщо для 
, 
, 
.
Приклад. Маємо відображення 
,
.
– фіксований вектор.
– змінний вектор.
Знайдемо норму оператора
,
.
Покажемо, що насправді 
рівна правій частині. Для цього достатньо знайти елемент x, щоб нерівність перетворювалася б в рівність. Розглянемо елемент 
, тоді:
.
Контрольні запитання.
1. Дати означення лінійного оператора.
2. Дати означення неперервності лінійного оператора.
3. Який оператор називається обмеженим?
4. Що називається нормою оператора?
5. Дати означення лінійного функціоналу. Навести приклади.
6. Який загальний вигляд лінійних функціоналів у просторах 
і 
?
7. Який оператор називається оборотним?
|
|
|
Вправи.
1. Розглянемо у просторі неперервних функцій на відрізку 
оператор, який визначається формулою 
де 
– деяка фіксована неперервна функція двох змінних. Довести лінійність даного оператора.
2. Показати, що оператор диференціювання 
, який діє в підпросторі неперервних функцій, є лінійним, але не неперервним.
3. Довести, що в просторі Rn будь-який лінійний функціонал може бути поданий за формулою 
, де 
цілком певний вектор, а 
– довільний вектор.
4. Знайти норму оператора, який діє з простору Rn в просторі R1 і який визначається рівністю 
Розв’язання.
1. Маємо: 
, що й доводить лінійність оператора.
2. Лінійність даного оператора очевидна. Той факт, що даний оператор не є неперервним випливає, наприклад, з того, що послідовність 
збігається до нуля (в метриці 
), а послідовність 
ні.
3. Подамо x через одиничні вектори 
за формулою 
. Тоді, використавши лінійність функціонала, дістанемо
, що й треба було довести.
4. Маємо, що 
. За означенням норми оператора виходить, що 
. Розглянемо елемент 
. Оскільки 
, то 
.
Задачі.
1. Довести, що коли лінійний оператор А неперервний в одній точці x 
лінійного нормованого простору R, то він неперервний в R.
|
|
|
2. Довести, що будь-який обмежений лінійний оператор є неперервним.
3. Встановити загальний вигляд лінійного функціонала в просторі l 
.
4. Дано функціонали
– 
– фіксована точка із сегмента
– 
– фіксована точка із сегмента 
– 
– 
Дослідити дані функціонали на лінійність, обмеженість і знайти їх норми.
5. Чи буде лінійним оператор 
?
6. Чи буде лінійним оператор 
? Чи буде він неперервним оператором з 
в ?
ЛІНІЙНІ ДОДАТНІ ОПЕРАТОРИ
В теорії наближень функції, фундаментальну роль відіграє теорема Вейєрштрасса, про те, що будь-яку неперервну функцію 
на сегменті можна як завгодно точно наблизити алгебраїчним многочленом.
Якщо функція достатньо гладка (має багато похідних) і залишковий член формули Тейлора прямує до нуля, то теорема Вейєрштрасса очевидна. В ролі многочлена в цьому випадку виступатиме многочлен Тейлора.
Однак функція може мати похідні всіх порядків, і її не можна наблизити многочленом Тейлора.
Крім того можна уявити функцію, яка є неперервною і немає похідну в жодній точці. Виявляється, що й таку функцію можна наблизити алгебраїчним многочленом. Доведемо теорему Вейєрштрасса за допомогою лінійних додатних операторів.
|
|
|
Розглянемо лінійний оператор 
, який заданий у просторі неперервних функцій 
, так, що він залежить від функції 
і від x. Прикладом такого оператора можуть бути многочлени Бернштейна 
.
Означення. Лінійний оператор зветься додатним, якщо він кожній невід’ємній функції ставить у відповідність невід’ємне значення оператора. Оператор Бернштейна буде таким оператором для функцій , які задані на 
.
Ясно, що коли 
, то 
. Справді, 
, тоді 
, 
.
Теорема (Коровкіна). Нехай маємо послідовність лінійних додатних операторів 
, які задані в просторі неперервних функцій 
і виконуються умови:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
де 
– нескінченно малі, які рівномірно по всіх x прямують до нуля, при 
. Тоді послідовність лінійних операторів рівномірно прямує до неперервної функції .
Доведення. Оскільки неперервна на 
, то за першою теоремою Вейєрштрасса вона буде обмежена, тобто:
,
. (1)
За теоремою Кантора функція буде рівномірно неперервна на . Це означає, що для 
, 
, 
:
. (2)
З нерівностей (1) і (2) випливає така нерівність:
. (3)
Потрібно проаналізувати два випадки, коли 
і 
. Подіємо на нерівність (3) оператором і врахуємо, що він додатній і лінійний.
(4)
Маємо: 
,
при 
.
Тоді нерівність (4) набуває вигляду :
.
При досить великому натуральному M, ми можемо досягти того, що буде виконуватися нерівність:
А це і доводить, що послідовність лінійних додатних операторів прямує до рівномірно (бо нерівність виконується для всіх x).
Теорема доведена.
Теорема Бернштейна. Нехай маємо функцію , яка неперервна на сегменті 
. Тоді многочлени Бернштейна 
прямують до рівномірно.
Доведення. Для доведення достатньо переконатись, що для многочленів Бернштейна виконуються умови теореми Коровкіна.
Справді, даний оператор додатний і лінійний. Крім того маємо:
1. 
, 
. Перша умова виконується.
2. 
,
.
Будемо мати:
, 
.
3. 
,
– нескінченно мала.
Всі умови теореми Коровкіна виконуються. Отже, многочлени Бернштейна рівномірно прямують до функції , яка задана на .
Теорема Вейєрштрасса. Для будь-якої функції неперервної на довільному сегменті існує послідовність алгебраїчних многочленів 
, які рівномірно прямують до функції .
Доведення. Зробимо заміну 
, якщо 
, y=0,
, y=1.
Тоді функція 
задана на сегменті . Цю функцію 
, яка вже задана на , ми можемо як завгодно точно наблизити многочленом Бернштейна 
:
.
Повертаємось до старої змінної x: 
. В результаті цієї заміни функція 
перетвориться в , x 
, а 
буде алгебраїчним многочленом 
. Матимемо, що 
.
Теорема доведена.
Контрольні запитання.
1. Який оператор на просторі неперервних функцій називається додатнім?
2. Довести лінійність й додатність операторів Бернштейна і Валле-Пуассона.
3. Довести теорему Коровкіна про збіжність послідовності лінійних додатніх операторів до неперервної функції .
4. Довести теорему Бернштейна.
5. Довести теорему Вейєрштрасса про збіжність послідовності алгебраїчних многочленів до неперервної на відрізку функції .
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
Зразок контрольної роботи.
1. 
. Довести, що дане відображення стискаюче. Однак рівняння 
не має дійсних коренів. Чому?
2. Довести, що замкнений одиничний квадрат є компакт.
3. У просторі 
норму елемента введено за формулою 
. Перевірити виконання аксіоми норми.
4. Знайти норму функціонала 
5. За допомогою леми Гейне-Бореля довести першу теорему Больцано-Коші.
Розв’язання.
1. Дане відображення не є відображенням в себе. (Чому?). Отже, не виконується одна з умов теореми Банаха.
2. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса з обмеженої послідовності у просторі 
можна виділити збіжну підпослідовність. В силу замкненості одиничного квадрата границя підпослідовності належатиме даному квадрату.
3. Маємо:
a). 
, причому 
тоді і тільки тоді, коли всі координати вектора 
рівні нулеві;
b). 
;
c). 
.
Дана нерівність виконується при всіх i, зокрема й тоді, коли в лівій частині стоїть максимум з усіх і, тобто 
.
4. 
. Отже, 
. Взявши тепер в якості функції 
дещо згладжену функцію 
, переконаємось, що насправді 
.
5. Припустимо, міркуючи від супротивного, що в жодній точці сегмента функція не перетворюється в нуль, тобто зберігає знак у всіх внутрішніх точках сегмента . В силу неперервності функція зберігатиме знак і в деякому околі точки x. Ця система околів утворює нескінченне відкрите покриття сегмента . За лемою Гейне-Бореля з даного нескінченного покриття можна виділити скінченне підпокриття, в кожному з інтервалів якого функція зберігає знак. А це суперечить тому, що на кінцях сегмента функція має різні знаки.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1782; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!