При параллельном переносе осей

⇐ ПредыдущаяСтр 55 из 72Следующая ⇒

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

ТеоремаМомент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Пусть дана произвольная плоская фигура, площадь которой А,центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси х будет I_x. Вычислим момент инерции фигуры относительно оси x₁, параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а (рис. 21.4):

Первое слагаемое правой части есть момент инерции фигуры относительно оси х,т. е. I_x; второе слагаемое содержит статический момент площади относительно оси х, а он равен нулю, так как ось х — центральная; третье слагаемое после интегрирования будет равно а²А. Врезультате получим

теорема доказана.

Нужно помнить то обстоятельство, что последней формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей — центральная.

Анализируя выведенную формулу, можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси.

Пользуясь доказанной теоремой, выведем формулу для вычисления момента инерции прямоугольника относительно оси x_1, проходящей через основание (см. рис. 21.3):

219

Главные оси и главные моменты инерции

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты инерции будут изменяться, причем

Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I_хи I_у,а полярный момент инерции относительно начала координат I_р. Как было установлено ранее,

Если сумма двух переменных величин остается постоянной, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых моментов достигает максимального, а другой — минимального значений.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главны ми осями инерции.

Момент инерции относительной главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной о с ь ю, а момент инерции относительно этой оси — главным центральным моментом инерции.

Особо важным является то обстоятельство, что если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей.

Введем еще одну геометрическую характеристику плоского сечения.

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется взятая по всей площади фигуры сумма произведений элементарных площадок на произведение расстояний этих площадок до двух данных взаимно перпендикулярных осей:

где х, у — расстояние от площадки dA до осей у и х.Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и в частном случае равным нулю.

Если взаимно перпендикулярные оси хиу или одна из них являются осью симметрии плоской фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю.

Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.

220

В таблицах стандартных профилей прокатных сталей содержится геометрическая характеристика, которая называется радиусом инерции сечения и вычисляется по формулам:

где I_х,I_y — осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А — площадь сечения. Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентренного растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.

Пример 21.1.Определить главные центральные моменты инерции таврового сечения, изображенного на рис. 21.5. Дано: b₁ = 15 мм, h₁ = 120 мм, b₂ = 120 мм, h₂= 30 мм.

Решение. Геометрические характеристики сечений стандартных профилей прокатных сталей в таблицах ГОСТов выражаются в см, поэтому вычисления в этом примере также проведем в см.

Прежде всего определим положение центра тяжести С данного сечения, разделенного на два прямоугольника 1 и 2. Запишем статические моменты площади этих прямоугольников относительно оси x₃ и определим координату y_c центра тяжести С всего сечения (х_c = 0, так как сечение симметрично относительно оси у).

Обозначим площади прямоугольников А₁ и А₂,тогда

Поскольку заданное сечение симметрично относительно оси у,то эта ось является одной из главных центральных осей. Определим момент инерции I_у всего

сечения как сумму моментов инерции прямоугольников 1 и 2 , тогда

Определим моменты инерции I_x₁и I_x ₂прямоугольников 1 и 2 относительно собственных центральных осей х₁ и х₂:

Применим теорему о моментах инерции относительно параллельных осей и определим главный центральный момент инерции I_x относительно центральной оси х,причем

Итак, главные центральные моменты инерции заданного сечения равны:

Глава 22

КРУЧЕНИЕ

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 556; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 50 51 52 53 545556 57 58 59 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!