Статически неопределимые задачи

⇐ ПредыдущаяСтр 50 из 72Следующая ⇒

Задачи на расчет конструкций, в элементах которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми.

Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнения перемещений или деформаций.

Изменение температуры деталей вызывает изменение их размеров, в результате чего в статически неопределимых системах возникают дополнительные напряжения, называемые температурными.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А,длиной l, жестко защемленный по концам (рис. 19.10). При нагревании в стержне возникнут температурные напряжения сжатия. Определим эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

откуда получим, что реакции R_с и R_B равны, а, применив метод сечении, установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией R_B, тогда дополнительное уравнение деформаций будет иметь вид

(т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции R_B, так как связи полагаются абсолютно жесткими).

Температурное удлинение l_t = tl, где — коэффициент линейного расширения материала стержня; укорочение под действием реакции R_B: l_СВ = R_Bl /(EA).Приравняем правые части этих равенств:

Определим температурные напряжения:

Для того чтобы избежать температурных напряжений, которые могут достигать значительных величин, один конец мостов ставят на катки; в длинных

трубопроводах, подвергающихся изменению температуры, делают компенсирующие устройства и т. д.

Пример 19.5. Абсолютно жесткая балка, изображенная на рис. 19.11, шарнирно укреплена в стене и подвешена горизонтально на двух шарнирно закрепленных, вертикально расположенных стальных стержнях равной длины l= 2 м. В точке D на балку действует сила F = 20 кН. Площади поперечных сечений стержней равны: А₂= 3 см², А₂= б см². Модуль упругости материала стержней

Е = 2 10⁵ МПа, сила тяжести балки G = 40 кН. Определить напряжения в стержнях 1 и 2.

Решение. Рассматривая равновесие балки, отбросив связи и заменив их реакциями, получаем три неизвестных: реакцию R_A шарнира А и реакции R_Си R_B стержней 1 и 2.

Для данной системы параллельных сил можно составить лишь два уравнения равновесия: уравнение проекций сил на вертикальную ось и уравнение моментов относительно какой-либо точки; следовательно, система статически неопределима.

Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение перемещений элементов конструкции, для чего изобразим ее в деформированном виде. Из подобия треугольников АСС' и АВВ' получаем