Вращение вокруг неподвижной оси



Движение, при котором по крайней мере две точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называется враща­тельным; прямая линия, соединяющая эти две точки, называется осью вращения. В определении вращательного движения говорится о неизменяемой системе, потому что ось вращения может лежать и вне тела.

Вращательное движение в технике встречается весьма часто. В по­давляющем большинстве механизмов и машин имеются звенья, которые совершают вращательное движение, например валы, зубчатые колеса, кривошипы и т. д. Заметим, что понятие вращательного движения может относиться только к телу, но не к точке; так, например, движение точки по окружности есть не вращательное движение, а криволинейное.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 10.3). Точка О — след этой оси. Очевидно, что траектории точек вращающегося тела есть окружности различных радиу­сов, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами, лежащими на этой оси.

Пусть за время t диск повернулся на угол . При этом точка А про­шла путь sA, а точка В — путь sB. Так как точки, находящиеся на различ­ном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути, то, следовательно, они имеют разные скорости и ускорения.

Итак, при вращательном движении тела точки его, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, имеют неодинаковые траекто­рии, скорости и ускорения.

Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные ско­рость и ускорение точек не могут характеризовать вращательное движе­ние тела в целом. Вращательное движение тела можно характеризовать углом ф, на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол называется угловым перемещением тела. Угловое перемещение выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угловое перемещение обозначают N.Для установления зависимости между  и N составим пропорцию:

1 об — 2  рад,

N o6 — рад,

откуда

 = 2 N рад,

где N— число оборотов тела.


1101


Угловое перемещение тела есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в самом общем виде запи­шется так:

Из рис. 10.3 видно, что путь любой точки вращающегося тела

где r— расстояние точки от оси вращения.

Скорость любой точки тела определяется так:


(r вынесли за знак производной, так как для данной точки твердого тела эта величина постоянна).

Выражение — обозначим ю и назовем угловой скоростью.

Угловая скорость есть кинематическая мера движения вращающегося тела, характеризующая быстроту его углового перемещения:

Угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени.


Формула для определения скорости любой точки вращающегося тела запишется следующим образом:



Единица угловой скорости

Скорость точки в каждый момент времени прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек, например диаметра В1В2,будет представлять собой два треугольника (рис 10.3). Очевидно, что вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения. Если точка лежит на поверхности вращающегося тела, то ее скорость называют окружной.

В технике часто скорость вращения выражают в оборотах в минуту, обозначают буквой п и называют частотой вращения. Установим зависимость между угловой скоростью и частотой вращения, выраженными соответственно в рад/с и мин -1. Запишем пропорцию:

102


рад — 1 с,

 2 п рад — 60 с.

Из пропорции найдем

 = п /30 рад/с,

где п — частота вращения тела, об/мин или мин -1.

Пример 10.2. Сколько времени (мин) продлится обточка вала диаметром d = 180 мм и длиной l = 1000 мм, если обточка ведется за один проход резца, подача резца за один оборот изделия sоб= 0,5 мм/об, а скорость резания = 135 м/мин.

Решение. Прежде всего определим угловую скорость со и частоту вращения п вала

Далее определим подачу резца в минуту:

Разделив длину обрабатываемой поверхности на минутную подачу резца, определим машинное время, необходимое для обточки вала:

Пример 10.3. Проект создания мировой ретрансляционной системы телеви­дения заключается в запуске трех искусственных спутников Земли таким образом, чтобы они образовали равносторонний треугольник неподвижный по отношению к Земле. С какой скоростью должны двигаться спутники по круговой орбите, расположенной в плоскости экватора, если известно, что они будут летать на вы­соте h = 35 800 км? Радиус Земли на экваторе R = 6370 км (рис 10.4). Определить также окружную скорость точки на экваторе.

Решение. Если спутники будут неподвижны по отношению к Земле, то мож­но считать, что вместе с Землей они составляют неизменяемую систему. Опреде­лим окружную скорость A  точки А, находящейся на экваторе Земли по формуле



Угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси равна

Тогда скорость точки А будет равна

Так как спутники составляют вместе с Зем­лей неизменяемую систему, вращающуюся вокруг земной оси, то скорости точек этой системы пря­мо пропорциональны их расстояниям от оси вра­щения:


103


 



Отсюда определим искомую скорость спутников:


Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 676; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!