Способы задания движения точки

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 72Следующая ⇒

Знание законов движения тела означает знание законов движения каждой его точки, поэтому изучение кинематики начнем с изучения движения геометрической точки.

Траекторией точки называется множество (геометрическое место) положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета.

В зависимости от формы траектории движение точки бывает двух видов: прямолинейное и криволинейное. Рассмотрим два способа задания движения точки естественный и координатный.

Естественный способ заключается в том, что движение точки задается ее траекторией, началом отсчета и уравнением движения по этой траектории (законом движения)

Уравнение движения в общем виде записывается следующим образом:

где s — расстояние точки от начального положения, являющееся функцией времени; t — время движения точки от начального момента

Зная траекторию точки и уравнение движения по этой траектории, можно определить положение точки в любой момент времени, для чего следует в равенство s = f(t) подставить время.

При своем движении точка проходит некоторый путь, также являющийся функцией времени. Следует подчеркнуть, что путь, пройденный точкой, совпадает с расстоянием от начала отсчета лишь тогда, когда точка все время движется в одном направлении и начало ее движения совпадает с началом отсчета.

Координатный способ заключается в том, что движение точки задается движением ее проекций вдоль осей координат.

Уравнения плоского движения точки в координатной форме записываются следующим образом:

Зная уравнения движения точки в координатной форме, можно, подставив в эти уравнения время, определить положение проекций точки, а следовательно, и самой точки в любой момент времени (рис 9.2).

Для того чтобы при координатном способе задания движения точки определить уравнение траектории у = f(x), необходимо из уравнений движения исключить время.

Международная система единиц (СИ) устанавливает в качестве единицы длины м е т р, а в качестве единицы времени — секунду.

Пример 9.1. Кривошип ОА вращается около неподвижной оси так, что угол = 10t рад. Длина ОА = АВ = 0,8 м. Найти уравнения движения и траекторию средней точки М шатуна, а также уравнение движения ползуна В,если в начальный момент ползун находится в крайнем положении; оси координат указаны на рис. 9.3.

Решение. Определим координаты точки М в зависимости от угла :

Таким образом, уравнения движения точки М запишутся так

Чтобы определить уравнение траектории точки М, исключим из уравнений движения время. Преобразуем уравнения движения и возведем их в квадрат:

Сложив правые и левые части этих равенств, получим уравнение траектории точки М:

Точка М движется по эллипсу с полуосями длиной 1,2 и 0,4 м. Так как ползун В движется прямолинейно вдоль оси х, то у_B = 0.

Для получения уравнения движения ползуна определим абсциссу точки В в зависимости от угла :

Тогда уравнение движения ползуна запишется так:

Пример 9.2. Кривошип ОМ кулисы Вольфа равномерно вращается около неподвижной оси О так, что угол = ( /4)t, рад (рис 9.4). Длина стержня ОМ= 0,2 м.

В начальный момент стержень ОМ составил с осью Ох угол ₀ = 0. Составить уравнение движения кулисы.

Решение. Из конструкции механизма видно, что кулиса движется возвратно-поступательно вдоль оси х. Очевидно, что кулиса будет двигаться по тому же закону, по которому движется проекция точки М на ось x, следовательно,

Скорость точки

Скорость есть кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость измеряется длиной пути, пройденного за единицу времени:

v = s/t = const

(предполагается, что начала отсчета пути и времени совпадают). Единица скорости

Скорость есть величина векторная. При прямолинейном равномерном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а вектор ее совпадает с траекторией (рис. 9.5, а).

При криволинейном движении скорость точки по направлению меняется. Для того чтобы установить направление вектора скорости при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать вследствие их малости прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость такого прямолинейного движения будет направлена по хорде. В пределе при s,стремящемся к нулю, хорда совпадает с касательной, следовательно, скорость в каждый момент времени направлена по касательной к траектории в сторону движения (рис. 9.5, б).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости меняется. Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением

Если за небольшой промежуток времени t точка прошла путь s,то ее средняя скорость равна

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе она к истинной.

Истинная скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при t,стремящемся к нулю:

Таким образом, числовое значение скорости равно

Истинная скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

Движение, в котором скорость с течением времени возрастает, называют ускоренным; движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, — замедленным.

Пример 9.3. Поезд движется согласно уравнению

где t — в секундах, s — в метрах.

Определить среднюю скорость поезда за промежуток времени между концом 10-й и 20-й секунд и истинную скорость в конце 20-й секунды.

Решение. Для определения средней скорости поезда найдем приращения времени и пути за указанный промежуток времени:

Средняя скорость поезда определится так:

Для определения истинной скорости поезда продифференцируем уравнение движения по времени, в результате чего получим формулу, выражающую зависимость истинной скорости от времени:

Подставив в это выражение время t₂,получим значение истинной скорости в конце 20-й секунды:

Пусть точка из положения М,двигаясь неравномерно, за время t перешла в положение М₁(рис. 9.5, б). Дугу ММ₁обозначим s. Отрезок ММ₁ назовем вектором перемещения точки М.Допустим, что точка М перешла за время t в положение М₁, двигаясь по хорде и притом равномерно, тогда скорость такого прямолинейного движения будет

Перейдем к пределу, умножив предварительно числитель и знаменатель правой части на s, и представим предел произведения как произведение пределов:

Так как при t, стремящемся к нулю, s также стремится к нулю, то первый предел (предел отношения хорды к соответствующей дуге) равен единице. Второй предел дает первую производную пути по времени, т. е. истинную скорость, причем вектор v_п в пределе будет направлен по касательной, т. е. совпадет с вектором истинной скорости v. Таким образом,

Следовательно, предел вектора условной скорости v_п, равный пределу отношения вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю, равен вектору истинной скорости точки.

В дальнейшем этим выводом пользуются в готовом виде, что позволяет упростить математическую часть доказательств некоторых теорем.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1079; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!