Задания для самостоятельного решения.

1.Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

1)            2)

3)              4)

5)      6)

7)         8)

9)         10)

2. Решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

1)           2)

3)            4)

5)           6)

7)            8)

9)            10)

3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

1)              2)

3)            4)

5)           6)

7)            8)

9)              10)

4. Решите однородную систему линейных уравнений, выделив какую-либо фундаментальную систему:

1)                 2)

3)         4)

5)           6)

7)               8)

9)      10)

Дифференциальное исчисление

Пределы

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого сколь угодно малого  найдется такое значение , что при . Пишут . Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

Если существуют конечные пределы  и , то

1) ,                                                     (1)

2) ,                                                        (2)

3)     (при )                                               (3)

Используя также следующие пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .                                                                              (4)

Здесь  - бесконечно малая функция

Сравнение бесконечно малых

Пусть  и  бесконечно малые при . Если , то бесконечно малые называются эквивалентными. Пишут: α~β.

Теорема. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, то есть если  α~ , β~ , то

(5)

Полезно использовать эквивалентность следующих бесконечно малых: если , то

~α, tgα~α, arcsinα~α, arctgα~α, ln(1-α)~α,

~αln , ~αm           (5’)

Дифференцирование функций

Производной от функции  в точке х называется конечный предел                       (6)

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

 

Основные правила дифференцирования

 

Пусть С=const, u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

если , то        (7)

 

Производная степенно – показательной функции

,                                                                    (8)

 где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции.

 

Таблица производных

1. , С - любое число        10.

2.                                                    11.

3.                                         12.

4.                                         13.

5.                                                       14.

6.                                  15.

7.                                              16.

8.                                       17.

9.                               18.

 

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл. Его свойства

Функция называется первообразной для функции  в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна :

Интегрирование – это процесс нахождения первообразных.

Множество первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

Примеры:

 

Таблица неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12.  .

13.  .

14. 

 

Свойства неопределенного интеграла:

 

1. Если  – постоянная величина, то .

2.

3. .

4. .

5. .

 

Определенный интеграл

Разность называется определенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где  первообразная для функции

 - формула Ньютона – Лейбница.

Пример.

 

Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.

 

Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и производные этой функции, т.е. уравнение вида

Если искомая функция  есть функция одной переменной , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например,

1.  – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

2.  – дифференциальное уравнение второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид  или  Решением дифференциального уравнения на интервале  называется функция , определенная на интервале  вместе со своими производными, и такая, что подстановка функции  в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения  в области  называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) эта функция является решением дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной , принадлежащей некоторому множеству;

2) для любого начального условия  такого, что , существует единственное , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое получается из общего решения  при некотором частном значении произвольной постоянной .

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка  состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента  принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию Другими словами, задача Коши состоит в нахождении частного решения.

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 421; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!