Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Отсюда имеем

Предположим, что . Разделим на .

Интегрируя, будем иметь

или

Потенцируя последнее равенство, окончательно получим .

2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию:  при

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на произведение  , получим уравнение

Интегрируем.

Откуда получаем общее решение

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение произвольной постоянной по начальным условиям.

.

Следовательно, частное решение имеет вид

3. Найти общее решение уравнения.

Решение.Разделим данное уравнение относительно производной :

Правая часть уравнения зависит от отношения , следовательно, данное уравнение является однородным.

Введем новую функцию :

Тогда

Подставляем полученное выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными

или

Разделим переменные и проинтегрируем

Подставив вместо  его значение, получим общий интеграл.

4. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Решим уравнение относительно производной

Правая часть уравнения зависит от отношения

следовательно, данное уравнение является однородным.

Введем новую функцию :

Тогда Подставляем полученное выражение в уравнение:

и, следовательно,

5. Найти общее решение линейного уравнения

Решение. Положим , тогда

Выберем  так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда

Следовательно,

6. Найти частное решение уравнения

Решение.

6. Решить уравнение

Решение.Полагая  приходим к уравнению первого порядка

Уравнение является линейным.

Тогда

7. Решить уравнение

Решение.

Полагая

получим:

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

8. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение для данного уравнения принимает вид

Т.к. , то в соответствии с формулой  общее решение данногодифференциального уравнения имеет вид

9. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение  имеет корни

В соответствии с формулой  получаем общее решение исходного дифференциального уравнения

10.Проинтегрировать уравнение

Решение. Характеристическое уравнение Найдем корни этого уравнения.

В соответствии с формулой  находим общее решение

11. Найти частное решение дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение

Т.к. корни  - различные действительные, то общее решение уравнения имеет вид

Найдем частное решение.

Подставим в общее решение первое начальное условие:

Чтобы составить второе уравнение, продифференцируем общее решение и воспользуемся вторым начальным условием:

Решим систему уравнений:

Подставив найденные значения постоянных в общее решение, получим частное решение

12. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни:

Следовательно, уравнение имеет три действительных корня, причем два из них равные.

Общее решение уравнения

Где - произвольные постоянные.

13.Решить уравнение

Решение.Cоставим характеристическое уравнение

Преобразуя левую часть уравнения, получим

Откуда

Получаем общее решение уравнения

14Найти общее решение уравнения

Решение. Найдем общее решение уравнения

Характеристическое уравнение

имеет двукратный корень 1. Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид

Правая часть имеет рассматриваемую форму, причем .

Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, находим коэффициенты:

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства

Получим

.

Итак, частным решением заданного уравнения является функция

а его общим решением – функция

15. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет корни

Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части запишется так:

Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Дважды дифференцируем:

и подставляем в уравнение:

 Приравнивая друг другу коэффициенты при в обеих частях равенства, получим:

Отсюда  т.е. частным решением будет функция

аобщим

16.Найти общее решение уравнения

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

Общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение ищем в виде

Имеем:

Подставляя в уравнение, находим:

Это равенство будет тождественным только при

Отсюда .

Следовательно, получаем частное решение

Общее решение имеет вид

Мы поможем в написании ваших работ!