Частные случаи уравнений второго порядка
Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка
И рассмотрим частные случаи, легко приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка.
1. Правая часть уравнения не содержит 
и 
: 
Так как 
то
Интегрируя еще раз, будем иметь:
, где 
- произвольные постоянные.
2. Правая часть уравнения не содержит :
Положим 
и уравнение 
обращается в уравнение первого порядка относительно z:
Найдя решение этого уравнения, 
, мы искомое решение получим интегрированием равенства 
т.е.
3. Правая часть уравнения не содержит 
:
Положим 
и будем считать 
функцией от . Дифференцируя это равенство, получим
Чтобы исключить , произведем следующее преобразование:
Таким образом,
Подставив в уравнение, будем иметь:
т.е. уравнение первого порядка относительно как функции от .
Решив его, найдем 
Тогда искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными:
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции и ее производных.
Мы будем записывать его в виде
где 
- функции независимой переменной или постоянные величины.
Функция 
называется правой частью уравнения.
Если функция тождественно равна нулю, то уравнение называется линейным уравнением без правой части (или однородным). В противном случае уравнение называется линейным уравнением с правой частью (или неоднородным).
|
|
|
1. Линейные уравнения без правой части, т.е.
Теорема.Если 
- решения линейного уравнения 
, то функция 
при любых постоянных также является решением уравнения.
На основе доказанной теоремы мы можем сделать следующий вывод о структуре общего решения линейного уравнения без правой части .
Если 
- решения уравнения такие, что их отношение не равно постоянной величине, то линейная комбинация этих функций
является общим решением уравнения.
В предыдущей теореме мы доказали, что функция 
является решением линейного уравнения без правой части, а так как она содержит две произвольные постоянные, то она и является общим решением.
Зная общее решение уравнения, мы можем по заданным начальным условиям отыскивать соответствующее частное. Пусть, например, заданы начальные условия
,
причем в точке 
коэффициенты непрерывны. Подставляя эти значения в выражение для общего решения и его производной, получим систему линейных уравнений относительно :
Для того чтобы из общего решения можно было получить любое частное, надо проверить, что полученная система имеет решение при любых начальных данных 
|
|
|
Для этого определитель системы должен быть отличен от нуля:
2. Линейные уравнения с правой частью.
Пусть дано линейное уравнение второго порядка с правой частью
Уравнение без правой части
получающееся из данного уравнения , если вместо свободного члена взять нуль, назовем соответствующим уравнению .
Теорема. Общее решение уравнения с правой частью можно составить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой части и какого-нибудь частного решения данного уравнения .
Итак, для того чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это можно записать так:
Где - частные решения соответствующего уравнения без правой части, а 
- частное решение уравнения с правой частью.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 407; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!