Задачи для самостоятельного решения.
1.Исследовать уравнение 
на отрезке 
на существование и единственность корня, используя аналитический и графический методы.
Вычислить три приближения корня методом половинного деления и оценить погрешность последнего приближения.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
2. Найти три приближения корня для уравнения на отрезке а) методом хорд; б) методом касательных. Вычислить погрешность третьего приближения для каждого метода.
Найти приближенный корень уравнения корень уравнения 
на отрезке с точностью до 
комбинированным методом хорд и касательных.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3. Методом простой итерации вычислить корень уравнения с точностью до 
Отрезок, на котором корень существует и единственный, выделить самостоятельно.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Элементы линейной алгебры
Определители и матрицы
Матрицы. Определители 2-го и 3-гопорядков. Свойства определителей
Матрицей размера m 
n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
Числа, стоящие в матрице, называются ее элементами и обозначаются буквой с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй - номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент. Элементы матрицы обычно обозначаются малыми буквами, а сами матрицы - соответствующими заглавными. Если матрица задаётся перечислением своих элементов, то таблица элементов заключается в круглые или квадратные скобки.
|
|
|
Например, матрица 
размера 
записывается в виде:
Эта матрица состоит из 
элементов 
, где 
– есть номер строки, 
– номер столбца. Матрицы используются в технических науках и в экономике для записи табличной информации. В программированииматрицы называютсядвумерными массивами.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной, а число строк (столбцов) этой квадратной матрицы называется ее порядком. Квадратная матрица 
порядка состоит из 
2элементов:
Матрица 1-го порядка состоит из одного элемента
Элементы 
, т. е находящиеся на линии идущей с правого верхнего угла в левый нижний, называют главной диагональю матрицы , а элементы 
, т. е находящиеся на линии идущей с левого верхнего угла в правый нижний, называют побочной диагональю матрицы 
Каждой квадратной матрице по определённому правилу сопоставляется число, которое называется определителем(детерминантом)этой матрицы и обозначаемое 
. Определитель, в отличие от матрицы обозначается вертикальными линиями:
|
|
|
.
Сформулируем правила вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков.
1. Определителем матрицы 1-го порядка называется число равное ее элементу
2. Определителем матрицы 2-го порядканазывается число
.
Например,
.
3. Определителем матрицы 3-го порядка называется число
.
Для определителя третьего порядка применяют следующее правила.
1) Правило треугольников (Саррюса). Для его запоминания используется следующая схематическая запись, где элементы, расположенные на месте черных точек, перемножаются:
Например,
2) Правило параллельного переноса.Для его запоминания используется следующее.
Дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки), т.е.
Транспонированной матрицей для матрицы называется матрица 
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы . Диагональ, исходящая из левого верхнего угла матрицы, называется её главной диагональю. Для квадратной матрицы 
транспонированная матрица записывается так:
|
|
|
Свойства операции транспонирования матрицы:
1) 
2) 
3) 
Рассмотрим теперь свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка. Для определённости будем их записывать для определителей 3-го порядка.
І.(Равноправность строк и столбцов)Определители квадратной матрицы и её транспонированной совпадают, т.е. 
.
Дальнейшие свойства определителей мы будем формулировать для его строк. Из свойстваІследует, что все они справедливы и для столбцов.
ІІ.При перемене местами двух строк матрицы, её определитель меняет свой знак на противоположный. Четное количество перестановок не меняет знака определителя.
Например,
.
В определителе поменяли местами вторую и третью строки.
ІІІ. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 
.
Например,
ІV.Если все элементы одной строки квадратной матрицы умножить на число 
, то её определитель умножится на это число.
Например,
.
V.Если квадратная матрица содержит нулевую строку, то её определитель равен .
Например,
VI. Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы пропорциональны какой-нибудь другой строке, то определитель равен нулю.
Например,
VІI. (Линейное свойство определителя.) Еслив квадратной матрице 
строка 
является линейной комбинацией двух строк 
и 
, с коэффициентами 
, то
|
|
|
где 
– определитель, у которого строка равна а 
–определитель, у которого строка равна 
а остальные троки те же, что и у основного определителя.
Например,
VІІI.Если к одной строке матрицы прибавить другую её строку, умноженную на число , то определитель матрицы при этом не изменится.
Например,
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 778; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!